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Duas funções escalares são usadas para construir soluções de equações diferenciais que satisfazem características físicas de um fluido: as funções de corrente e potencial. Mostre, matematicamente, como elas se relacionam entre si e aponte quais características de um fluido cada uma delas representa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas funções importantes em fluidos: a função de corrente e a função potencial. Essas funções são usadas para construir soluções de equações diferenciais que descrevem o comportamento de um fluido. A gente vai mostrar matematicamente como elas estão relacionadas e explicar que características do fluido cada uma representa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada função representa.
  • Função de Corrente ( ): Essa função é usada principalmente para descrever fluxos de fluidos incompressíveis e em escoamentos bidimensionais. Ela ajuda a visualizar as linhas de corrente, que são trajetórias que as partículas do fluido seguem.
  • Função Potencial ( ): Essa função é usada para representar escoamentos potenciais, que são escoamentos irrotacionais (onde a rotação do fluido é zero). A função potencial facilita o cálculo de velocidades em diferentes pontos do fluxo.

Passo 3

Agora, vamos ver como elas estão matematicamente relacionadas. Em um escoamento bidimensional, a velocidade do fluido pode ser expressa tanto em termos da função de corrente quanto da função potencial.
A velocidade pode ser escrita como o gradiente da função potencial:
v = nabla phi
E também pode ser expressa usando a função de corrente:
v = nabla times (psi k)
Aqui, é o vetor unitário na direção z.

Passo 4

Vamos detalhar essas expressões. Para um escoamento bidimensional no plano xy, as componentes de velocidade são:
Usando a função potencial:
u = partial phipartial x, v = partial phipartial y
Usando a função de corrente:
u = partial psipartial y, v = -partial psipartial x

Passo 5

Para que essas duas formas de expressar a velocidade sejam compatíveis, a mistura das derivadas deve satisfazer certas condições. Isso implica que:
nabla^2 phi = 0 e nabla^2 psi = 0
Essas são as equações de Laplace, que indicam que tanto a função potencial quanto a função de corrente são harmônicas.

Passo 6

Além disso, em escoamentos que são tanto incompressíveis quanto irrotacionais, podemos combinar as duas funções. A condição de incompressibilidade (divergência zero) e irrotacionalidade (rotacional zero) fazem com que as funções potencial e de corrente sejam conjugadas, ou seja, elas satisfazem a Equação de Cauchy-Riemann:
partial phipartial x = partial psipartial y, partial phipartial y = -partial psipartial x

Resposta

Então, resumindo, a função de corrente ( ) e a função potencial ( ) estão relacionadas através das condições de escoamento incompressível e irrotacional, satisfazendo as Equações de Cauchy-Riemann. A função de corrente representa as linhas de fluxo do fluido, enquanto a função potencial facilita o cálculo das velocidades em escoamentos potenciais.

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