(3,0 pontos)
Duas funções escalares são usadas para construir soluções de equações diferenciais que satisfazem características físicas de um fluido: as funções de corrente e potencial. Mostre, matematicamente, como elas se relacionam entre si e aponte quais características de um fluido cada uma delas representa.
Duas funções escalares são usadas para construir soluções de equações diferenciais que satisfazem características físicas de um fluido: as funções de corrente e potencial. Mostre, matematicamente, como elas se relacionam entre si e aponte quais características de um fluido cada uma delas representa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas funções importantes em fluidos: a função de corrente e a função potencial. Essas funções são usadas para construir soluções de equações diferenciais que descrevem o comportamento de um fluido. A gente vai mostrar matematicamente como elas estão relacionadas e explicar que características do fluido cada uma representa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada função representa.
-
Função de Corrente (
): Essa função é usada principalmente para descrever fluxos de fluidos incompressíveis e em escoamentos bidimensionais. Ela ajuda a visualizar as linhas de corrente, que são trajetórias que as partículas do fluido seguem. -
Função Potencial (
): Essa função é usada para representar escoamentos potenciais, que são escoamentos irrotacionais (onde a rotação do fluido é zero). A função potencial facilita o cálculo de velocidades em diferentes pontos do fluxo.
Passo 3
Agora, vamos ver como elas estão matematicamente relacionadas. Em um escoamento bidimensional, a velocidade do fluido pode ser expressa tanto em termos da função de corrente quanto da função potencial.
A velocidade pode ser escrita como o gradiente da função potencial:
E também pode ser expressa usando a função de corrente:
Aqui,
é o vetor unitário na direção z.
Passo 4
Vamos detalhar essas expressões. Para um escoamento bidimensional no plano xy, as componentes de velocidade são:
Usando a função potencial:
Usando a função de corrente:
Passo 5
Para que essas duas formas de expressar a velocidade sejam compatíveis, a mistura das derivadas deve satisfazer certas condições. Isso implica que:
Essas são as equações de Laplace, que indicam que tanto a função potencial quanto a função de corrente são harmônicas.
Passo 6
Além disso, em escoamentos que são tanto incompressíveis quanto irrotacionais, podemos combinar as duas funções. A condição de incompressibilidade (divergência zero) e irrotacionalidade (rotacional zero) fazem com que as funções potencial e de corrente sejam conjugadas, ou seja, elas satisfazem a Equação de Cauchy-Riemann:
Resposta
Então, resumindo, a função de corrente (
) e a função potencial (
) estão relacionadas através das condições de escoamento incompressível e irrotacional, satisfazendo as Equações de Cauchy-Riemann. A função de corrente representa as linhas de fluxo do fluido, enquanto a função potencial facilita o cálculo das velocidades em escoamentos potenciais.
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(4,0 pontos)
A análise diferencial de escoamentos permite descrever o movimento dos fluidos através de equações diferenciais. Nós sabemos que encontrar soluções para estas equações pode se tornar um trabalha bastante complicado. Nestes casos, simplificações podem ser propostas. Uma destas simplificações é assumir que o escoamento é invíscido. Demonstre, matematicamente, como esta simplificação facilita o emprego do TTR Lei de Newton e dê um exemplo prático de onde vocês enxergam que isto pode ser útil.
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.
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e
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Determine:
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