Os dois faróis de um automóvel que se aproxima de um observador estão separados por uma distância de 1,2 m. Qual é (a) a separação angular mínima e (b) a distância máxima para que o olho do observador seja capaz de resolvê-los? Suponha que o diâmetro da pupila do observador seja 5 mm e use lambda=540 nm para a luz dos faróis. Suponha também que a resolução seja limitada apenas pelos efeitos da difração e, portanto, que o critério de Rayleigh possa ser aplicado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para gente descobrir duas coisas sobre os dois faróis de um carro que estão separados por 1,2 metros quando ele se aproxima de alguém. A matéria envolvida aqui é sobre resolução angular e difração da luz. Para resolver isso, vamos precisar entender como a luz se comporta ao passar pelos nossos olhos e como conseguimos ver objetos separados. Vamos usar o critério de Rayleigh, que nos ajuda a determinar quando duas fontes de luz podem ser distinguidas como separadas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a), que pede a separação angular mínima necessária para que o observador consiga distinguir os dois faróis. A separação angular, que chamaremos de θ, é o ângulo mínimo entre os dois faróis visto pelo observador para que eles sejam percebidos como dois pontos distintos.
Para calcular isso, usamos o critério de Rayleigh, que nos dá a menor separação angular que pode ser resolvida. A fórmula do critério de Rayleigh é:
theta = 1,22 times lambdaD
Onde:
  • é o comprimento de onda da luz (aqui é ),
  • é o diâmetro da pupila do olho (aqui é ).
Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 3

Vamos fazer as contas para encontrar θ:
Primeiro, precisamos que as unidades estejam consistentes. Vamos converter tudo para metros:
  • theta = 1,22 times 540 times 10^-9 , m5 times 10^-3 , m
  • theta = 1,22 times 540 times 10^-95 times 10^-3
Agora, substituímos na fórmula:
theta = 1,22 times 108 times 10^-6
theta = 1,22 times 1,08 times 10^-4
theta approx 1,3176 times 10^-4 , rad

Passo 4

Agora que temos a separação angular mínima θ, vamos para a parte (b), que pede a distância máxima na qual o observador ainda consegue resolver os dois faróis. Sabemos que a separação física entre os faróis é theta = sd e que a separação angular é θ.
A relação entre a distância d = stheta , a separação física d = 1,2 , m1,3176 times 10^-4 , rad , e a separação angular θ é dada por:
Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos calcular d = 1,21,3176 times 10^-4 :
d approx 9110 , m

Resposta

(a) A separação angular mínima é aproximadamente rad.
(b) A distância máxima para que o observador consiga resolver os dois faróis é cerca de 9.110 metros.

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