Dois fios, um de cobre e outro de ferro, tém o mesmo comprimento. Aplicamos às extremidades de ambos os fios a mesma diferença de potencial. (a) Qual deve ser a razalo entre os raios dos fíos, para que ambos sejam percorridos pela mesma corrente? (b) És possivel fazer com que a densidade de corrente seja a mesma nos dois fios, escolhendo convenientemente os seus raios?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois fios, um de cobre e outro de ferro, que têm o mesmo comprimento. A gente aplica a mesma diferença de potencial (ou tensão) nas extremidades de ambos. A primeira parte da pergunta (a) quer saber qual deve ser a razão entre os raios desses fios para que ambos tenham a mesma corrente passando por eles. A gente vai precisar usar conceitos de resistência elétrica, resistividade dos materiais e a relação entre essas grandezas e o raio dos fios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica
de um fio é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a resistividade do material, -
é o comprimento do fio, -
é a área da seção transversal do fio.
Como os fios são cilíndricos, a área da seção transversal
pode ser calculada como:
Então, a resistência fica:
Passo 3
Agora, pela Lei de Ohm, a corrente
que passa pelo fio é dada por:
Onde
é a diferença de potencial aplicada. Como queremos que as correntes nos dois fios sejam iguais e a mesma tensão
está sendo aplicada, precisamos que as resistências dos dois fios sejam iguais. Ou seja:
Passo 4
Substituindo a fórmula da resistência:
Como os comprimentos
e o
são iguais e se cancelam, fica:
Passo 5
Queremos encontrar a razão entre os raios, ou seja,
. Vamos rearranjar a equação:
Então,
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 6
Agora, calculando a razão. Sabemos que a resistividade do cobre
é aproximadamente
e a do ferro
é cerca de
.
Substituindo:
Então,
Passo 7
Portanto, a razão entre os raios do fio de cobre e do fio de ferro deve ser aproximadamente 0,416. Ou seja, o fio de cobre deve ter um raio cerca de 41,6% do raio do fio de ferro para que ambos conduzam a mesma corrente sob a mesma tensão aplicada.
Resposta
(a) A razão entre os raios dos fios deve ser
.