Dois fios, um de cobre e outro de ferro, tém o mesmo comprimento. Aplicamos às extremidades de ambos os fios a mesma diferença de potencial. (a) Qual deve ser a razalo entre os raios dos fíos, para que ambos sejam percorridos pela mesma corrente? (b) És possivel fazer com que a densidade de corrente seja a mesma nos dois fios, escolhendo convenientemente os seus raios?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois fios, um de cobre e outro de ferro, que têm o mesmo comprimento. A gente aplica a mesma diferença de potencial (ou tensão) nas extremidades de ambos. A primeira parte da pergunta (a) quer saber qual deve ser a razão entre os raios desses fios para que ambos tenham a mesma corrente passando por eles. A gente vai precisar usar conceitos de resistência elétrica, resistividade dos materiais e a relação entre essas grandezas e o raio dos fios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica de um fio é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a resistividade do material,
  • é o comprimento do fio,
  • é a área da seção transversal do fio.
Como os fios são cilíndricos, a área da seção transversal pode ser calculada como:
Então, a resistência fica:

Passo 3

Agora, pela Lei de Ohm, a corrente que passa pelo fio é dada por:
Onde é a diferença de potencial aplicada. Como queremos que as correntes nos dois fios sejam iguais e a mesma tensão está sendo aplicada, precisamos que as resistências dos dois fios sejam iguais. Ou seja:

Passo 4

Substituindo a fórmula da resistência:
Como os comprimentos e o são iguais e se cancelam, fica:

Passo 5

Queremos encontrar a razão entre os raios, ou seja, . Vamos rearranjar a equação:
Então,
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:

Passo 6

Agora, calculando a razão. Sabemos que a resistividade do cobre é aproximadamente e a do ferro é cerca de .
Substituindo:
Então,

Passo 7

Portanto, a razão entre os raios do fio de cobre e do fio de ferro deve ser aproximadamente 0,416. Ou seja, o fio de cobre deve ter um raio cerca de 41,6% do raio do fio de ferro para que ambos conduzam a mesma corrente sob a mesma tensão aplicada.

Resposta

(a) A razão entre os raios dos fios deve ser .

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