Dois fios AC e BC estão presos a uma esfera que percorre, em movimento uniforme, uma circunferência horizontal. Determinar o intervalo de valores da velocidade v da esfera para os quais a tensão em qualquer um dos fios não excede 35 N.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem dois fios presos a uma esfera que se move em uma circunferência horizontal com velocidade constante. Nosso objetivo aqui é descobrir qual intervalo de velocidades $ v $ a esfera pode ter para que a tensão em qualquer um dos fios não passe de 35 N. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimentos circulares e decomposição de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. A esfera está fazendo um movimento circular uniforme, então ela precisa de uma força centrípeta para manter esse movimento. Essa força vem da decomposição das tensões nos fios.
Passo 3
Vamos chamar a tensão em cada fio de $ T $. Como os dois fios estão simétricos, podemos analisar um deles e depois considerar os dois. A tensão $ T $ tem duas componentes: uma horizontal que fornece a força centrípeta e uma vertical que equilibra o peso da esfera.
Passo 4
Vamos decompor a tensão $ T $ em suas componentes. Se o ângulo que cada fio faz com a vertical for $ \theta $, então:
- Componente horizontal: $ T \sin \theta $
- Componente vertical: $ T \cos \theta $
Passo 5
A soma das componentes verticais das duas tensões deve equilibrar o peso da esfera. Se $ m $ é a massa da esfera e $ g $ é a aceleração da gravidade, então:
Passo 6
A soma das componentes horizontais das duas tensões fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular. Então:
onde $ r $ é o raio da trajetória.
Passo 7
Dividindo a equação das componentes horizontais pela vertical, temos:
Simplificando:
Passo 8
Agora, da equação $ 2T \cos \theta = mg $, podemos isolar $ \cos \theta $:
Passo 9
Sabemos que $ \cos \theta $ deve estar entre 0 e 1. Então:
Isso implica que:
Passo 10
Substituindo $ T = 35 , N $ e rearranjando para $ v $:
Tomando a raiz quadrada:
Resposta
Para que a tensão em qualquer um dos fios não exceda 35 N, a velocidade $ v $ da esfera deve ser menor ou igual a $ \sqrt{rg} \cdot \frac{2T}{m} $. Ou seja, $ v \leq \sqrt{rg} \cdot \frac{2 \times 35}{m} $.