Dois fios AC e BC estão presos a uma esfera que percorre, em movimento uniforme, uma circunferência horizontal. Determinar o intervalo de valores da velocidade v da esfera para os quais a tensão em qualquer um dos fios não excede 35 N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem dois fios presos a uma esfera que se move em uma circunferência horizontal com velocidade constante. Nosso objetivo aqui é descobrir qual intervalo de velocidades $ v $ a esfera pode ter para que a tensão em qualquer um dos fios não passe de 35 N. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimentos circulares e decomposição de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. A esfera está fazendo um movimento circular uniforme, então ela precisa de uma força centrípeta para manter esse movimento. Essa força vem da decomposição das tensões nos fios.

Passo 3

Vamos chamar a tensão em cada fio de $ T $. Como os dois fios estão simétricos, podemos analisar um deles e depois considerar os dois. A tensão $ T $ tem duas componentes: uma horizontal que fornece a força centrípeta e uma vertical que equilibra o peso da esfera.

Passo 4

Vamos decompor a tensão $ T $ em suas componentes. Se o ângulo que cada fio faz com a vertical for $ \theta $, então:
  • Componente horizontal: $ T \sin \theta $
  • Componente vertical: $ T \cos \theta $

Passo 5

A soma das componentes verticais das duas tensões deve equilibrar o peso da esfera. Se $ m $ é a massa da esfera e $ g $ é a aceleração da gravidade, então:
m

Passo 6

A soma das componentes horizontais das duas tensões fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular. Então:
2T sin theta = mv^2r
onde $ r $ é o raio da trajetória.

Passo 7

Dividindo a equação das componentes horizontais pela vertical, temos:
2T sin theta2T cos theta = mv^2rmg
Simplificando:
tan theta = v^2rg

Passo 8

Agora, da equação $ 2T \cos \theta = mg $, podemos isolar $ \cos \theta $:
2T cos theta = mg

Passo 9

Sabemos que $ \cos \theta $ deve estar entre 0 e 1. Então:
cos theta
Isso implica que:
0 < mg2T <= 1

Passo 10

Substituindo $ T = 35 , N $ e rearranjando para $ v $:
T = 35 , N
Tomando a raiz quadrada:
v

Resposta

Para que a tensão em qualquer um dos fios não exceda 35 N, a velocidade $ v $ da esfera deve ser menor ou igual a $ \sqrt{rg} \cdot \frac{2T}{m} $. Ou seja, $ v \leq \sqrt{rg} \cdot \frac{2 \times 35}{m} $.

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