Dois foguetes A e B, com o mesmo comprimento próprio 90 m , se aproximam um do outro, ao longo da mesma direção. Segundo o astronauta de A, a frente do foguete de B leva 1,5 times 10^-6 s para passar inteiramente pelo foguete A. Determine, para o astronauta em B:
(a) O intervalo de tempo que a frente de A leva para cruzar o foguete B;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois foguetes, o A e o B, cada um com 90 metros de comprimento no seu próprio descanso (ou seja, quando estão parados em relação a um observador). Eles estão se aproximando um do outro na mesma direção. Segundo o astronauta no foguete A, a frente do foguete B leva segundos para passar totalmente pelo foguete A. Nosso objetivo aqui é descobrir, do ponto de vista do astronauta no foguete B, quanto tempo a frente do foguete A leva para cruzar completamente o foguete B.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de relatividade especial, como dilatação do tempo e contracção do comprimento, além de usar a ideia de velocidade relativa entre os foguetes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a velocidade relativa entre os foguetes. Do ponto de vista do astronauta no A, o foguete B está se movendo em direção a ele. O tempo que leva para o foguete B passar completamente pelo A é dado como v = LBDe segundos. Sabendo que o comprimento próprio do foguete B é metros, podemos calcular a velocidade relativa usando a fórmula:

Passo 3

Vamos calcular a velocidade relativa v = 90 , m1,5 times 10^-6 , s = 6 times 10^7 , m/s :
Mas, aqui percebemos que essa velocidade é superior à velocidade da luz ( ), o que não é possível segundo a teoria da relatividade. Portanto, precisamos reconsiderar nossa abordagem, levando em conta a contração do comprimento.

Passo 4

Na realidade, como os foguetes estão se movendo um em relação ao outro, o comprimento de cada foguete será contraído para o observador que vê o outro se movendo. A fórmula da contração do comprimento é:
L = L0 raiz1 - v^2c^2
Onde:
  • é o comprimento próprio (90 m)
  • é o comprimento observado
  • é a velocidade relativa
  • é a velocidade da luz
Vamos usar essa fórmula para encontrar a velocidade correta.

Passo 5

Do ponto de vista do astronauta no A, o comprimento do foguete B está contraído. Então, o comprimento observado L = v De é menor que 90 m. Sabemos que o tempo para passar é L = L0 raiz1 - v^2c^2 s. A relação entre os comprimentos e tempos nos diferentes referenciais nos dá:
v De
E também:
Igualando as duas expressões para :
Vamos resolver essa equação para .

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
v^2 (De
Distribuindo v^2 (De:
v^2 ( (De
Rearranjando os termos para isolar v^2 = L0^2(De:
v = L0raiz(De
Finalmente, isolando :
Tomando a raiz quadrada:

Passo 7

Agora, vamos inserir os valores conhecidos:
L0 = 90 , m, De
Calculando o denominador:
(De
L0^2c^2 = 90^2(3 times 10^8)^2 = 81009 times 10^16 = 9 times 10^-14 , s^2
Somando os dois termos:
2,25 times 10^-12 + 9 times 10^-14 = 2,34 times 10^-12 , s^2
Agora, calculando v = 90raiz2,34 times 10^-12 :
v = 904,84 times 10^-6 approx 1,86 times 10^7 , m/s

Passo 8

Agora que temos a velocidade relativa De, podemos calcular o intervalo de tempo que a frente do foguete A leva para cruzar o foguete B do ponto de vista do astronauta no B.
Primeiro, consideramos que, para o astronauta no B, o foguete A também está se movendo com a mesma velocidade De. O comprimento próprio de A é m. Então, o tempo é dado por:
Substituindo os valores:

Resposta

O intervalo de tempo que a frente do foguete A leva para cruzar completamente o foguete B, do ponto de vista do astronauta em B, é aproximadamente segundos.

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