Dois foguetes
e
, com o mesmo comprimento próprio 90 m , se aproximam um do outro, ao longo da mesma direção. Segundo o astronauta de
, a frente do foguete de
leva
para passar inteiramente pelo foguete
. Determine, para o astronauta em
:
(a) O intervalo de tempo que a frente de
leva para cruzar o foguete
;
(a) O intervalo de tempo que a frente de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois foguetes, o A e o B, cada um com 90 metros de comprimento no seu próprio descanso (ou seja, quando estão parados em relação a um observador). Eles estão se aproximando um do outro na mesma direção. Segundo o astronauta no foguete A, a frente do foguete B leva
segundos para passar totalmente pelo foguete A. Nosso objetivo aqui é descobrir, do ponto de vista do astronauta no foguete B, quanto tempo a frente do foguete A leva para cruzar completamente o foguete B.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de relatividade especial, como dilatação do tempo e contracção do comprimento, além de usar a ideia de velocidade relativa entre os foguetes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a velocidade relativa entre os foguetes. Do ponto de vista do astronauta no A, o foguete B está se movendo em direção a ele. O tempo que leva para o foguete B passar completamente pelo A é dado como
segundos. Sabendo que o comprimento próprio do foguete B é
metros, podemos calcular a velocidade relativa
usando a fórmula:
Passo 3
Vamos calcular a velocidade relativa
:
Mas, aqui percebemos que essa velocidade é superior à velocidade da luz (
), o que não é possível segundo a teoria da relatividade. Portanto, precisamos reconsiderar nossa abordagem, levando em conta a contração do comprimento.
Passo 4
Na realidade, como os foguetes estão se movendo um em relação ao outro, o comprimento de cada foguete será contraído para o observador que vê o outro se movendo. A fórmula da contração do comprimento é:
Onde:
-
é o comprimento próprio (90 m) -
é o comprimento observado -
é a velocidade relativa -
é a velocidade da luz
Vamos usar essa fórmula para encontrar a velocidade correta.
Passo 5
Do ponto de vista do astronauta no A, o comprimento do foguete B está contraído. Então, o comprimento observado
é menor que 90 m. Sabemos que o tempo para passar é
s. A relação entre os comprimentos e tempos nos diferentes referenciais nos dá:
E também:
Igualando as duas expressões para
:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Distribuindo
:
Rearranjando os termos para isolar
:
Finalmente, isolando
:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 7
Agora, vamos inserir os valores conhecidos:
Calculando o denominador:
Somando os dois termos:
Agora, calculando
:
Passo 8
Agora que temos a velocidade relativa
, podemos calcular o intervalo de tempo que a frente do foguete A leva para cruzar o foguete B do ponto de vista do astronauta no B.
Primeiro, consideramos que, para o astronauta no B, o foguete A também está se movendo com a mesma velocidade
. O comprimento próprio de A é
m. Então, o tempo
é dado por:
Substituindo os valores:
Resposta
O intervalo de tempo que a frente do foguete A leva para cruzar completamente o foguete B, do ponto de vista do astronauta em B, é aproximadamente
segundos.
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.
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.
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