Dada a equação da onda de d
onde
é um campo escalar. Mostre que:
(a) A equação da onda não é invariante sob as transformações de Galileu;
(a) A equação da onda não é invariante sob as transformações de Galileu;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação da onda que descreve como um campo escalar
se comporta no espaço e no tempo. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa equação não se mantém a mesma quando aplicamos as transformações de Galileu. Para isso, vamos precisar entender o que são essas transformações e como elas afetam a equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as transformações de Galileu. Essas transformações nos permitem mudar de um referencial para outro que está se movendo com velocidade constante em relação ao primeiro. Suponha que tenhamos dois referenciais: o referencial S e o referencial S’, onde S’ se move com velocidade constante
em relação a S na direção x. As transformações de Galileu são dadas por:
Aqui,
são as coordenadas no referencial S’.
Passo 3
Agora, vamos considerar como a função
se transforma entre esses referenciais. No referencial S’, a função será
. Para verificar se a equação da onda é invariante, precisamos expressar a equação original em termos de
e ver se ela mantém a mesma forma.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias na nova base de coordenadas. Primeiro, calculamos as derivadas espaciais e temporais em termos das coordenadas transformadas.
Como
, temos:
Passo 5
Aplicando essas derivadas na equação da onda original:
Substituindo as derivadas:
Passo 6
Rearranjando os termos:
Passo 7
Comparando com a equação original:
Vemos que surgiram termos extras:
Passo 8
Esses termos adicionais significam que a forma da equação mudou após a transformação. Para que a equação da onda fosse invariante sob transformações de Galileu, ela precisaria manter a mesma forma sem termos extras.
Resposta
Como surgiram termos adicionais após aplicar as transformações de Galileu, concluímos que a equação da onda não é invariante sob as transformações de Galileu.