Dois harmônicos sucessivos em um tubo sonoro fechado possuem frequências respectivamente iguais a 400Hz e 488,9Hz. Considerando a velocidade de propagação do som no interior de tubo como 320m/s, assinale a alternativa que apresenta de forma aproximada o comprimento do tubo sonoro em questão.
a) 0,750m
b) 1,000m
c) 1,500m
d) 1,800m
e) 2.000m
a) 0,750m
b) 1,000m
c) 1,500m
d) 1,800m
e) 2.000m
Passo 1
Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem um tubo sonoro fechado com dois harmônicos sucessivos com frequências de 400 Hz e 488,9 Hz. A velocidade do som dentro do tubo é de 320 m/s. Nosso objetivo é descobrir o comprimento desse tubo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre harmônicos em tubos fechados e usar fórmulas relacionadas à velocidade do som, frequência e comprimento do tubo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um tubo fechado, os harmônicos são ímpares. Isso significa que as frequências dos harmônicos são múltiplos ímpares de uma frequência fundamental. A fórmula para a frequência do n-ésimo harmônico em um tubo fechado é:
Onde:
- $ f_n $ é a frequência do n-ésimo harmônico,
- $ v $ é a velocidade do som,
- $ L $ é o comprimento do tubo,
- $ n $ é o número do harmônico (1, 2, 3, …).
Passo 3
Como temos dois harmônicos sucessivos, podemos considerar o primeiro harmônico ($ n = 1
n = 2 $), que na verdade é o terceiro harmônico da sequência devido à natureza dos tubos fechados.
Então, temos:
- Para $ n = 1 $: $ f_1 = \frac{(2 \cdot 1 - 1) \cdot 320}{4L} = \frac{320}{4L} = \frac{80}{L} $
- Para $ n = 2 $: $ f_2 = \frac{(2 \cdot 2 - 1) \cdot 320}{4L} = \frac{3 \cdot 320}{4L} = \frac{240}{L} $
Passo 4
Sabemos que as frequências dos harmônicos são 400 Hz e 488,9 Hz. Vamos associar essas frequências às fórmulas que encontramos:
- $ f_1 = \frac{80}{L} = 400 $ Hz
- $ f_2 = \frac{240}{L} = 488,9 $ Hz
Agora, vamos resolver a primeira equação para encontrar $ L $:
Mas isso não faz sentido, já que a segunda equação deveria nos dar o mesmo valor para $ L $. Vamos verificar se houve algum erro.
Na verdade, percebemos que ao considerar dois harmônicos sucessivos, a diferença entre eles deve corresponder ao intervalo esperado. Vamos calcular a diferença entre as frequências:
Essa diferença pode ser expressa como:
Resposta
O comprimento aproximado do tubo sonoro é 1,800 metros. A alternativa correta é a letra d).