(Normal) Suponha que a altura dos estudantes de uma universidade segue uma distribuição normal com média de 170 cm e desvio padrão de 10 cm . Qual é a probabilidade de um estudante ter altura entre 160 cm e 180 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a probabilidade de um aluno ter uma altura entre 160 cm e 180 cm. Para isso, vamos usar a distribuição normal, que é um conceito da estatística. Sabemos que a altura dos estudantes segue essa distribuição com média de 170 cm e desvio padrão de 10 cm. Vamos precisar usar a tabela da distribuição normal ou uma calculadora que faça esses cálculos pra gente.

Passo 2

Primeiro, vamos padronizar os valores usando a fórmula do escore z, que nos ajuda a converter qualquer valor da distribuição normal para uma escala onde a média é 0 e o desvio padrão é 1. A fórmula do escore z é:
z = X - musigma
Onde:
  • é o valor que estamos analisando (160 cm e 180 cm).
  • é a média (170 cm).
  • é o desvio padrão (10 cm).

Passo 3

Vamos calcular o escore z para 160 cm:
z1 = 160 - 17010 = -1010 = -1
E para 180 cm:
z2 = 180 - 17010 = 1010 = 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esses escores z na tabela da distribuição normal padrão. A tabela nos dá a área sob a curva até um certo z. Sabemos que:
  • A probabilidade de é aproximadamente 0,8413.
  • A probabilidade de é aproximadamente 0,1587.

Passo 5

Para encontrar a probabilidade de um aluno ter altura entre 160 cm e 180 cm, subtraímos a probabilidade menor da maior:
P(160 <= X <= 180) = P(z <= 1) - P(z <= -1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826

Resposta

A probabilidade de um estudante ter uma altura entre 160 cm e 180 cm é de aproximadamente 68,26%.

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