Dois objetos com massas diferentes são lançados verticalmente no ar por meio de duas molas comprimidas e depois liberadas. As duas molas são comprimidas pela mesma distância antes do lançamento. Ignore a resistência do ar e a massa das molas. Quais destas afirmações sobre as massas são verdadeiras? Justifique cada resposta. (a) Ambos atingem a mesma altura máxima. (b) Em sua altura máxima, ambos possuem a mesma energia potencial gravitacional, se o potencial gravitacional inicial de cada massa for zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois objetos com massas diferentes sendo lançados para cima usando molas comprimidas na mesma distância. Nosso objetivo é analisar duas afirmações sobre esses objetos: se eles atingem a mesma altura máxima e se possuem a mesma energia potencial gravitacional na altura máxima. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia elástica das molas, energia cinética, energia potencial gravitacional e a relação entre massa e altura em movimentos verticais.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia armazenada na mola quando ela é comprimida. A energia potencial elástica de uma mola é dada pela fórmula:
Eelástica = 12 k x^2 á
onde é a constante da mola e é a distância comprimida. Como ambas as molas são comprimidas pela mesma distância, a energia elástica fornecida a cada objeto é a mesma.

Passo 3

Quando a mola libera a energia, essa energia se transforma em energia cinética ( Ecinética = 12 m v^2 é) do objeto no instante do lançamento:
12 k x^2 = 12 m v^2 é
onde v = raizk x^2m = x raizkm é a massa do objeto e é a velocidade inicial. Como a energia elástica é a mesma para ambos, temos:
Podemos simplificar para encontrar a velocidade inicial:
Ou seja, quanto maior a massa, menor a velocidade inicial.

Passo 4

Agora, vamos analisar a altura máxima que cada objeto atinge. A energia cinética no lançamento se transforma em energia potencial gravitacional ( Epotencial = m g h ) na altura máxima:
12 m v^2 = m g h
onde 12 m ( k x^2m ) = m g h é a aceleração da gravidade e 12 k x^2 = m g h é a altura máxima. Igualando as energias:
h = k x^22 m g
Substituindo da etapa anterior:
Simplificando:
Isolando :
Isso mostra que a altura máxima é inversamente proporcional à massa do objeto.

Passo 5

Vamos agora responder às afirmações:
(a) Ambos atingem a mesma altura máxima.
Pelo que vimos, a altura máxima Epotencial = m g ( k x^22 m g ) = k x^22 . Como as massas são diferentes, será diferente para cada objeto. Portanto, a afirmação (a) é falsa.
(b) Em sua altura máxima, ambos possuem a mesma energia potencial gravitacional, se o potencial gravitacional inicial de cada massa for zero.
A energia potencial gravitacional na altura máxima é . Substituindo da etapa anterior:
A energia potencial gravitacional na altura máxima é a mesma para ambos, já que e são iguais. Portanto, a afirmação (b) é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Verdadeira.

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