Dois objetos com massas diferentes são lançados verticalmente no ar por meio de duas molas comprimidas e depois liberadas. As duas molas são comprimidas pela mesma distância antes do lançamento. Ignore a resistência do ar e a massa das molas. Quais destas afirmações sobre as massas são verdadeiras? Justifique cada resposta. (a) Ambos atingem a mesma altura máxima. (b) Em sua altura máxima, ambos possuem a mesma energia potencial gravitacional, se o potencial gravitacional inicial de cada massa for zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois objetos com massas diferentes sendo lançados para cima usando molas comprimidas na mesma distância. Nosso objetivo é analisar duas afirmações sobre esses objetos: se eles atingem a mesma altura máxima e se possuem a mesma energia potencial gravitacional na altura máxima. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia elástica das molas, energia cinética, energia potencial gravitacional e a relação entre massa e altura em movimentos verticais.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia armazenada na mola quando ela é comprimida. A energia potencial elástica de uma mola é dada pela fórmula:
onde
é a constante da mola e
é a distância comprimida. Como ambas as molas são comprimidas pela mesma distância, a energia elástica fornecida a cada objeto é a mesma.
Passo 3
Quando a mola libera a energia, essa energia se transforma em energia cinética (
) do objeto no instante do lançamento:
onde
é a massa do objeto e
é a velocidade inicial. Como a energia elástica é a mesma para ambos, temos:
Podemos simplificar para encontrar a velocidade inicial:
Ou seja, quanto maior a massa, menor a velocidade inicial.
Passo 4
Agora, vamos analisar a altura máxima que cada objeto atinge. A energia cinética no lançamento se transforma em energia potencial gravitacional (
) na altura máxima:
onde
é a aceleração da gravidade e
é a altura máxima. Igualando as energias:
Substituindo
da etapa anterior:
Simplificando:
Isolando
:
Isso mostra que a altura máxima é inversamente proporcional à massa do objeto.
Passo 5
Vamos agora responder às afirmações:
(a) Ambos atingem a mesma altura máxima.
Pelo que vimos, a altura máxima
. Como as massas são diferentes,
será diferente para cada objeto. Portanto, a afirmação (a) é falsa.
(b) Em sua altura máxima, ambos possuem a mesma energia potencial gravitacional, se o potencial gravitacional inicial de cada massa for zero.
A energia potencial gravitacional na altura máxima é
. Substituindo
da etapa anterior:
A energia potencial gravitacional na altura máxima é a mesma para ambos, já que
e
são iguais. Portanto, a afirmação (b) é verdadeira.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
(b) Verdadeira.