No momento inicial o extremo da corrente, que se encontrava sobre a tábua, estava fixo, mas depois foi liberado e a corrente começou a mover-se sob a ação da força da gravidade na parte da corrente que ficou pendurada fora da tábua. Determinar a velocidade de movimento da corrente no momento, em que o comprimento da parte pendurada da corrente é x (x<1). Determinar, para esse mesmo momento, a aceleração da corrente e a reação do extremo da tábua.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma corrente que, inicialmente, está fixa em uma tábua. Depois, ela é liberada e começa a se mover por causa da gravidade na parte que fica pendurada. Queremos descobrir três coisas nesse momento em que uma parte da corrente, de comprimento
(com
), está pendurada:
- A velocidade da corrente.
- A aceleração da corrente.
- A reação no extremo da tábua.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, aplicando as Leis de Newton e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar:
-
: massa por unidade de comprimento da corrente. -
: aceleração da gravidade ( ). -
: comprimento da parte da corrente que está pendurada. -
: velocidade da corrente no momento considerado. -
: aceleração da corrente. -
: reação no extremo da tábua.
Passo 3
Para encontrar a velocidade
da corrente quando o comprimento pendurado é
, vamos usar a conservação da energia. A energia potencial gravitacional perdida pela corrente será convertida em energia cinética.
A energia potencial perdida (
) é dada por:
Aqui,
representa a altura média pela qual a massa da corrente desceu.
A energia cinética (
) da corrente é:
Igualando as duas energias:
Passo 4
Simplificando a equação:
Então, a velocidade da corrente é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a aceleração
da corrente. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. A partir da expressão da velocidade:
Tomando a derivada em relação ao tempo:
Mas como
, substituímos:
Portanto, a aceleração da corrente é:
Passo 6
Por fim, vamos determinar a reação
no extremo da tábua. Essa reação é a força que a tábua exerce para sustentar a parte da corrente que está sobre ela.
A força total exercida pela parte pendurada da corrente é o peso dessa parte:
Além disso, como a corrente está acelerando para baixo com aceleração
, a força resultante também inclui essa aceleração:
A reação
deve equilibrar essas forças:
Então, a reação no extremo da tábua é:
Resposta
- Velocidade da corrente:
- Aceleração da corrente:
- Reação no extremo da tábua: