No momento inicial o extremo da corrente, que se encontrava sobre a tábua, estava fixo, mas depois foi liberado e a corrente começou a mover-se sob a ação da força da gravidade na parte da corrente que ficou pendurada fora da tábua. Determinar a velocidade de movimento da corrente no momento, em que o comprimento da parte pendurada da corrente é x (x<1). Determinar, para esse mesmo momento, a aceleração da corrente e a reação do extremo da tábua.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma corrente que, inicialmente, está fixa em uma tábua. Depois, ela é liberada e começa a se mover por causa da gravidade na parte que fica pendurada. Queremos descobrir três coisas nesse momento em que uma parte da corrente, de comprimento (com ), está pendurada:
  1. A velocidade da corrente.
  2. A aceleração da corrente.
  3. A reação no extremo da tábua.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, aplicando as Leis de Newton e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar:
  • : massa por unidade de comprimento da corrente.
  • : aceleração da gravidade ( ).
  • : comprimento da parte da corrente que está pendurada.
  • : velocidade da corrente no momento considerado.
  • : aceleração da corrente.
  • : reação no extremo da tábua.

Passo 3

Para encontrar a velocidade U = lambda g cdot x cdot x2 = 12 lambda g x^2 da corrente quando o comprimento pendurado é K = 12 lambda x v^2 , vamos usar a conservação da energia. A energia potencial gravitacional perdida pela corrente será convertida em energia cinética.
A energia potencial perdida ( 12 lambda g x^2 = 12 lambda x v^2 ) é dada por:
Aqui, representa a altura média pela qual a massa da corrente desceu.
A energia cinética ( ) da corrente é:
Igualando as duas energias:

Passo 4

Simplificando a equação:
lambda g x^2 = lambda x v^2
g x = v^2
v = raizg x
Então, a velocidade da corrente é:
v = raizg x

Passo 5

Agora, vamos encontrar a aceleração v = raizg x da corrente. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. A partir da expressão da velocidade:
a = dvdt = 12 cdot graizg x cdot dxdt
Tomando a derivada em relação ao tempo:
a = 12 cdot graizg x cdot raizg x = g2
Mas como a = g2 , substituímos:
Portanto, a aceleração da corrente é:

Passo 6

Por fim, vamos determinar a reação Peso = lambda x g no extremo da tábua. Essa reação é a força que a tábua exerce para sustentar a parte da corrente que está sobre ela.
A força total exercida pela parte pendurada da corrente é o peso dessa parte:
Força resu
Além disso, como a corrente está acelerando para baixo com aceleração R = Peso - Força resu, a força resultante também inclui essa aceleração:
R = 12 lambda x g ç
A reação deve equilibrar essas forças:
ç
Então, a reação no extremo da tábua é:

Resposta

  • Velocidade da corrente:
v = raizg x
  • Aceleração da corrente:
a = g2
  • Reação no extremo da tábua:
R = 12 lambda x g

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