No momento inicial o extremo da corrente, que se encontrava sobre a tábua, estava fixo, mas depois foi liberado e a corrente começou a mover-se sob a ação da força da gravidade na parte da corrente que ficou pendurada fora da tábua. Determinar a velocidade de movimento da corrente no momento, em que o comprimento da parte pendurada da corrente é x (x<1). Determinar, para esse mesmo momento, a aceleração da corrente e a reação do extremo da tábua.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma corrente que, inicialmente, está fixa em uma tábua. Depois, ela é liberada e começa a se mover por causa da gravidade na parte que fica pendurada. Queremos descobrir três coisas nesse momento em que uma parte da corrente, de comprimento
(com
), está pendurada:
- A velocidade da corrente.
- A aceleração da corrente.
- A reação no extremo da tábua.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, aplicando as Leis de Newton e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar:
-
: massa por unidade de comprimento da corrente. -
: aceleração da gravidade ( ). -
: comprimento da parte da corrente que está pendurada. -
: velocidade da corrente no momento considerado. -
: aceleração da corrente. -
: reação no extremo da tábua.
Passo 3
Para encontrar a velocidade
da corrente quando o comprimento pendurado é
, vamos usar a conservação da energia. A energia potencial gravitacional perdida pela corrente será convertida em energia cinética.
A energia potencial perdida (
) é dada por:
Aqui,
representa a altura média pela qual a massa da corrente desceu.
A energia cinética (
) da corrente é:
Igualando as duas energias:
Passo 4
Simplificando a equação:
Então, a velocidade da corrente é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a aceleração
da corrente. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. A partir da expressão da velocidade:
Tomando a derivada em relação ao tempo:
Mas como
, substituímos:
Portanto, a aceleração da corrente é:
Passo 6
Por fim, vamos determinar a reação
no extremo da tábua. Essa reação é a força que a tábua exerce para sustentar a parte da corrente que está sobre ela.
A força total exercida pela parte pendurada da corrente é o peso dessa parte:
Além disso, como a corrente está acelerando para baixo com aceleração
, a força resultante também inclui essa aceleração:
A reação
deve equilibrar essas forças:
Então, a reação no extremo da tábua é:
Resposta
- Velocidade da corrente:
- Aceleração da corrente:
- Reação no extremo da tábua:
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c) Se um corpo não tem aceleração, nenhuma força está agindo sobre ele?
b) Se um corpo tem aceleração, uma força está agindo sobre ele?
c) Se um corpo não tem aceleração, nenhuma força está agindo sobre ele?
I) sempre que ele puxava rapidamente a ponta do barbante
, o barbante
é que primeiro se arrebentava;
II) quando ele puxava lentamente o barbante , o barbante
é que arrebentava primeiro.
Pergunta-se:
a) Qual a força de tração nos barbantes e
antes das demonstrações? Considere
.
b) Por que num caso é o barbante que arrebenta e no outro é o
?
II) quando ele puxava lentamente o barbante
Pergunta-se:
a) Qual a força de tração nos barbantes
b) Por que num caso é o barbante
Dois objetos com massas diferentes são lançados verticalmente no ar por meio de duas molas comprimidas e depois liberadas. As duas molas são comprimidas pela mesma distância antes do lançamento. Ignore a resistência do ar e a massa das molas. Quais destas afirmações sobre as massas são verdadeiras? Justifique cada resposta. (a) Ambos atingem a mesma altura máxima. (b) Em sua altura máxima, ambos possuem a mesma energia potencial gravitacional, se o potencial gravitacional inicial de cada massa for zero.
Considerando que seja necessário um trabalho total
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