Dois patinadores no gelo mantêm as mãos dadas e giram, realizando uma volta em 2.5 s. Suas massas são de 55 kg e 85 kg, e a distância de separação entre eles é de 1.7 m. Determine (a) a quantidade de movimento angular do sistema em relação a seus centros de massa e (b) a energia total do sistema.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre dois patinadores no gelo que estão girando juntos, segurando as mãos, e completam uma volta em 2,5 segundos. A massa de um é 55 kg e do outro é 85 kg, e eles estão separados por 1,7 metros. O que precisamos determinar são: (a) a quantidade de movimento angular do sistema em relação ao centro de massa deles e (b) a energia total do sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Dinâmica Rotacional, especificamente momento de inércia e energia cinética rotacional. Vamos precisar aplicar fórmulas de momento de inércia para sistemas de partículas e da relação entre velocidade angular e período de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro de massa do sistema. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para simplificar os cálculos.
As massas dos patinadores são rcm = m2 times dm1 + m2 e , e a distância entre eles é .
A posição do centro de massa ( ) em relação a um dos patinadores é dada por:

Passo 3

Vamos calcular rcm = 85, kg times 1.7, m55, kg + 85, kg = 144.5140 approx 1.032, m :
Isso significa que o centro de massa está a aproximadamente 1.032 metros de um dos patinadores.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as distâncias individuais de cada patinador até o centro de massa. Sabemos que a distância total é 1.7 m, então:
Para o patinador de 55 kg ( r1 = d - rcm = 1.7, m - 1.032, m = 0.668, m ):
r2 = rcm = 1.032, m
Para o patinador de 85 kg ( ):

Passo 5

Em seguida, vamos determinar a velocidade angular ( omega = 2piT ) do sistema. Sabemos que uma volta completa leva 2.5 segundos, então o período ( ) é 2.5 s.
A velocidade angular é dada por:

Passo 6

Calculando omega = 2pi2.5, s = 2 times 3.14162.5 approx 2.513, rad/s :

Passo 7

Agora, vamos calcular o momento de inércia ( I = m1 r1^2 + m2 r2^2 ) do sistema em relação ao centro de massa. Para partículas, o momento de inércia é:
I = 55, kg times (0.668, m)^2 + 85, kg times (1.032, m)^2
Substituindo os valores:

Passo 8

Calculando cada termo:
55 times 0.668^2 = 55 times 0.446 = 24.53, kg cdot m^2
85 times 1.032^2 = 85 times 1.065 = 90.53, kg cdot m^2
Somando:
I = 24.53 + 90.53 = 115.06, kg cdot m^2

Passo 9

Com o momento de inércia e a velocidade angular, podemos calcular a quantidade de movimento angular ( L = I times omega ) usando a fórmula:

Passo 10

Calculando L = 115.06, kg cdot m^2 times 2.513, rad/s approx 289.3, kg cdot m^2/s :

Passo 11

Para a parte (b), queremos encontrar a energia total do sistema. Essa energia é a energia cinética rotacional, dada por:
K = 12 I omega^2

Passo 12

Calculando K = 0.5 times 115.06, kg cdot m^2 times (2.513, rad/s)^2 :
= 0.5 times 115.06 times 6.317 approx 0.5 times 727.45 approx 363.7, J

Resposta

(a) A quantidade de movimento angular do sistema é aproximadamente .
(b) A energia total do sistema é aproximadamente .

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