Dois patinadores no gelo mantêm as mãos dadas e giram, realizando uma volta em 2.5 s. Suas massas são de 55 kg e 85 kg, e a distância de separação entre eles é de 1.7 m. Determine (a) a quantidade de movimento angular do sistema em relação a seus centros de massa e (b) a energia total do sistema.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre dois patinadores no gelo que estão girando juntos, segurando as mãos, e completam uma volta em 2,5 segundos. A massa de um é 55 kg e do outro é 85 kg, e eles estão separados por 1,7 metros. O que precisamos determinar são: (a) a quantidade de movimento angular do sistema em relação ao centro de massa deles e (b) a energia total do sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Dinâmica Rotacional, especificamente momento de inércia e energia cinética rotacional. Vamos precisar aplicar fórmulas de momento de inércia para sistemas de partículas e da relação entre velocidade angular e período de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro de massa do sistema. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para simplificar os cálculos.
As massas dos patinadores são
e
, e a distância entre eles é
.
A posição do centro de massa (
) em relação a um dos patinadores é dada por:
Passo 3
Vamos calcular
:
Isso significa que o centro de massa está a aproximadamente 1.032 metros de um dos patinadores.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as distâncias individuais de cada patinador até o centro de massa. Sabemos que a distância total é 1.7 m, então:
Para o patinador de 55 kg (
):
Para o patinador de 85 kg (
):
Passo 5
Em seguida, vamos determinar a velocidade angular (
) do sistema. Sabemos que uma volta completa leva 2.5 segundos, então o período (
) é 2.5 s.
A velocidade angular é dada por:
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o momento de inércia (
) do sistema em relação ao centro de massa. Para partículas, o momento de inércia é:
Substituindo os valores:
Passo 8
Calculando cada termo:
Somando:
Passo 9
Com o momento de inércia e a velocidade angular, podemos calcular a quantidade de movimento angular (
) usando a fórmula:
Passo 10
Calculando
:
Passo 11
Para a parte (b), queremos encontrar a energia total do sistema. Essa energia é a energia cinética rotacional, dada por:
Passo 12
Calculando
:
Resposta
(a) A quantidade de movimento angular do sistema é aproximadamente
.
(b) A energia total do sistema é aproximadamente
.