Uma máquina de Atwood tem dois corpos de massas m1=500 g e m2=510 g, ligados por uma corda de massa desprezível que passa por uma roldana (Figura 8) sem atrito com seu eixo. A roldana é um disco uniforme com massa de 50 g e raio de 4 cm. (b) Qual é a tração na corda que sustenta m1? E na corda que sustenta m2? Qual é a sua diferença?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos uma máquina de Atwood com dois corpos de massas e ligados por uma corda que passa por uma roldana sem atrito. A roldana tem uma massa de 50 g e um raio de 4 cm. Precisamos descobrir qual é a tração na corda que sustenta cada massa e qual é a diferença entre essas trações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de sistemas com rotação, aplicando as leis de Newton para movimentos lineares e rotacionais.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as massas para quilogramas, já que o Sistema Internacional usa kg para massa:
m1 = 500 , g = 0,5 , kg
m2 = 510 , g = 0,51 , kg
mroldana = 50 , g = 0,05 , kg
O raio da roldana também deve estar em metros:
r = 4 , cm = 0,04 , m

Passo 3

Agora, precisamos considerar a roldana como um disco uniforme para calcular seu momento de inércia ( I = 12 m r^2 ). A fórmula para o momento de inércia de um disco é:
I = 12 times 0,05 , kg times (0,04 , m)^2 = 12 times 0,05 times 0,0016 = 0,00004 , kg cdot m^2
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada massa. Para T1 - m1g = m1a :
m2g - T2 = m2a
E para :
Aqui, e são as tractions nas cordas que sustentam e , respectivamente, é a aceleração da gravidade ( ), e é a aceleração do sistema.

Passo 5

Como a roldana está girando, a aceleração linear a = alpha r está relacionada à aceleração angular T2r - T1r = Ialpha pela relação:
T2r - T1r = I ( ar )
A segunda lei de Newton para rotação nos dá:
T2 - T1 = Iar^2
Substituindo :
Simplificando:

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações:
  1. (T1 - m1g) + (m2g - T2) = m1a + m2a
  2. (m2 - m1)g = (m1 + m2)a
  3. a = (m2 - m1)gm1 + m2
Vamos resolver essas equações para encontrar a = (0,51 - 0,5) times 9,810,5 + 0,51 = 0,01 times 9,811,01 approx 0,09811,01 approx 0,097 , m/s^2 e . Primeiro, somamos as duas primeiras equações:
Isso simplifica para:
Isolando :
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora que temos T2 - T1 = Iar^2 = 0,00004 times 0,0970,0016 approx 0,000003880,0016 approx 0,002425 , N , podemos usar a terceira equação para relacionar :
Esse valor indica a diferença entre as tractions.

Passo 8

Vamos encontrar T1 = m1g + m1a = 0,5 times 9,81 + 0,5 times 0,097 = 4,905 + 0,0485 approx 4,9535 , N usando a primeira equação:
T2 = m2g - m2a = 0,51 times 9,81 - 0,51 times 0,097 approx 5,0 - 0,0495 approx 4,9505 , N
E usando a segunda equação:

Resposta

A tração na corda que sustenta é aproximadamente , na corda que sustenta é aproximadamente . A diferença entre as tractions é cerca de .

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