Dois pequenos condutores esféricos idênticos (cargas pontuais) estão separados por uma distância de 0,60 m, possuem uma carga total de 200 mu C e se repelem com uma força de 120 N. (a) Determine as cargas das duas esferas. (b) As duas esferas são colocadas em contato elétrico e depois separadas, ficando cada uma com uma carga de 100 mu C. Determine a força exercida por uma das esferas sobre a outra quando a distância entre elas é de 0,60 m.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos duas esferas condutoras pequenas, que são como carregadinhas pontuais, separadas por 0,60 metros. Juntas, elas têm uma carga total de e se repelem com uma força de 120 N. Precisamos descobrir duas coisas:
a) Quais são as cargas individuais de cada esfera.
b) Depois de colocar as esferas em contato e separá-las (cada uma ficando com ), qual será a força que uma exerce sobre a outra mantendo a mesma distância.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força entre duas cargas elétricas. Também vamos precisar lidar com algumas equações básicas de cargas elétricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. Queremos descobrir quanto cada esfera está carregada individualmente.

Passo 3

Sabemos que a carga total das duas esferas juntas é q1 + q2 = 200,muC . Vamos chamar a carga de uma esfera de e a outra de . Então, temos:
Isso já nos dá uma relação entre as duas cargas.

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei de Coulomb, que diz que a força ( F = k q1 cdot q2r^2 ) entre duas cargas é dada por:
Onde:
  • é a constante de Coulomb ( )
  • e são as cargas das esferas
  • é a distância entre elas
Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na equação.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula de Coulomb:
120 = 8,988 times 10^9 cdot q1 cdot q2(0,60)^2
Vamos simplificar isso para facilitar a resolução.

Passo 6

Primeiro, calculamos 120 = 8,988 times 10^9 cdot q1 cdot q20,36 . Então:
120 times 0,36 = 8,988 times 10^9 cdot q1 cdot q2
Agora, multiplicamos ambos os lados por 43,2 = 8,988 times 10^9 cdot q1 cdot q2 :
Calculando :

Passo 7

Agora, isolamos q1 cdot q2 = 43,28,988 times 10^9 approx 4,81 times 10^-9,C^2 :

Passo 8

Agora temos duas equações:
  1. ( )
Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar e .

Passo 9

Vamos chamar q1 cdot (200,muC - q1) = 4,81 times 10^-9,C^2 e substituir na segunda equação:
q1 cdot (2 times 10^-4,C - q1) = 4,81 times 10^-9,C^2
Convertendo para Coulombs:

Passo 10

Expandindo a equação:
2 times 10^-4 q1 - q1^2 = 4,81 times 10^-9
Rearranjando:
q1^2 - 2 times 10^-4 q1 + 4,81 times 10^-9 = 0

Passo 11

Agora, temos uma equação quadrática na forma q = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:

Passo 12

Calculando o discriminante ( De):

Passo 13

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
q = 2 times 10^-4 pm raiz2,076 times 10^-82
Calculando a raiz quadrada:
raiz2,076 times 10^-8 approx 1,441 times 10^-4
Então:
q = 2 times 10^-4 pm 1,441 times 10^-42

Passo 14

Calculando as duas possíveis soluções:

Passo 15

Portanto, as cargas das duas esferas são aproximadamente:
  • Esfera 1:
  • Esfera 2:

Passo 16

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Depois de colocar as esferas em contato, cada uma fica com . Precisamos determinar a nova força entre elas a uma distância de .

Passo 17

Usaremos novamente a Lei de Coulomb:
F = k q1 cdot q2r^2
Agora, e .

Passo 18

Substituindo os valores na equação:
F = 8,988 times 10^9 cdot (1 times 10^-4) cdot (1 times 10^-4)(0,60)^2
Primeiro, calculamos .

Passo 19

Então:
F = 8,988 times 10^9 cdot 1 times 10^-80,36 = 8,988 times 10^10,36 approx 89,880,36 approx 249,67,N

Resposta

a) As cargas das duas esferas são aproximadamente e .
b) Após o contato elétrico, a força entre as esferas é de aproximadamente .

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