Dois pequenos condutores esféricos idênticos (cargas pontuais) estão separados por uma distância de
, possuem uma carga total de
e se repelem com uma força de 120 N. (a) Determine as cargas das duas esferas. (b) As duas esferas são colocadas em contato elétrico e depois separadas, ficando cada uma com uma carga de
. Determine a força exercida por uma das esferas sobre a outra quando a distância entre elas é de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos duas esferas condutoras pequenas, que são como carregadinhas pontuais, separadas por 0,60 metros. Juntas, elas têm uma carga total de
e se repelem com uma força de 120 N. Precisamos descobrir duas coisas:
a) Quais são as cargas individuais de cada esfera.
b) Depois de colocar as esferas em contato e separá-las (cada uma ficando com
), qual será a força que uma exerce sobre a outra mantendo a mesma distância.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força entre duas cargas elétricas. Também vamos precisar lidar com algumas equações básicas de cargas elétricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. Queremos descobrir quanto cada esfera está carregada individualmente.
Passo 3
Sabemos que a carga total das duas esferas juntas é
. Vamos chamar a carga de uma esfera de
e a outra de
. Então, temos:
Isso já nos dá uma relação entre as duas cargas.
Passo 4
Agora, vamos usar a Lei de Coulomb, que diz que a força (
) entre duas cargas é dada por:
Onde:
-
é a constante de Coulomb ( ) -
e são as cargas das esferas -
é a distância entre elas
Sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na equação.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula de Coulomb:
Vamos simplificar isso para facilitar a resolução.
Passo 6
Primeiro, calculamos
. Então:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
:
Calculando
:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Passo 8
Agora temos duas equações:
-
( ) -
Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Passo 9
Vamos chamar
e substituir na segunda equação:
Convertendo
para Coulombs:
Passo 10
Expandindo a equação:
Rearranjando:
Passo 11
Agora, temos uma equação quadrática na forma
. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Passo 12
Calculando o discriminante (
):
Passo 13
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando a raiz quadrada:
Então:
Passo 14
Calculando as duas possíveis soluções:
Passo 15
Portanto, as cargas das duas esferas são aproximadamente:
- Esfera 1:
- Esfera 2:
Passo 16
Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Depois de colocar as esferas em contato, cada uma fica com
. Precisamos determinar a nova força entre elas a uma distância de
.
Passo 17
Usaremos novamente a Lei de Coulomb:
Agora,
e
.
Passo 18
Substituindo os valores na equação:
Primeiro, calculamos
.
Passo 19
Então:
Resposta
a) As cargas das duas esferas são aproximadamente
e
.
b) Após o contato elétrico, a força entre as esferas é de aproximadamente
.
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