Dado um capacitor de 7,4 pF, cheio de ar, podemos convertê-lo num capacitor que armazene 7,4 mu J com uma diferença de potencial máxima de 625 V , bastando adicionar um material dielétrico. Qual o valor da constante dielétrica do material utilizado para preencher a lacuna de ar do capacitor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um capacitor cheio de ar que precisa ser modificado para armazenar uma certa quantidade de energia com uma diferença de potencial específica. A matéria envolvida aqui é Capacitância e Materiais Dielétricos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como a capacitância de um capacitor muda quando adicionamos um material dielétrico e como isso afeta a energia armazenada nele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a energia armazenada em um capacitor. A fórmula para a energia ( U = 12 C V^2 ) armazenada é:
Onde:
  • é a capacitância em farads (F)
  • é a diferença de potencial em volts (V)

Passo 3

Agora, quando adicionamos um material dielétrico dentro do capacitor, a capacitância aumenta. A nova capacitância ( C' = k times C ) é dada por:
Onde:
  • é a constante dielétrica do material
  • é a capacitância original (sem o dielétrico)

Passo 4

No exercício, queremos que o capacitor armazene U = 12 C' V^2 Rightarrow U = 12 k C V^2 com uma diferença de potencial máxima de k = 2UC V^2 . Vamos usar a fórmula da energia armazenada para encontrar a constante dielétrica .
Primeiro, rearranjamos a fórmula da energia para encontrar :
Isolando :

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
  • k = 2 times 7,4 times 10^-67,4 times 10^-12 times (625)^2
  • 7,4 times 10^-12 times 390625 = 2,890625 times 10^-6
  • k = 14,8 times 10^-62,890625 times 10^-6 approx 5,12
Substituindo na fórmula:
Calculando o denominador:
Agora, calculando :

Resposta

A constante dielétrica do material utilizado é aproximadamente 5,1.

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