Dois planos carregados uniformemente e de grande extensĩo, sâo mantidos paralelos a ama pequena distância um do outro. As densidades superficiais de carga dos planos sio sigma1=-15.0 nC / m^2 e sigma2=+20.0 nC / m^2. Determine a componente Er= ? do campo elétrico resultante (a) a esquerda, (b) a direita e © entre os planos carregados.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem dois planos carregados uniformemente e bem grandes, mantidos paralelos a uma distância pequena um do outro. As densidades superficiais de carga são sigma1 = -15.0 , nC/m^2 e sigma2 = +20.0 , nC/m^2. Nosso objetivo aqui é determinar a componente Er do campo elétrico resultante em três regiões diferentes: (a) à esquerda dos dois planos, (b) à direita dos dois planos e © entre os planos carregados.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por um plano carregado e como somar esses campos quando temos mais de um plano. Vamos usar a Lei de Gauss para planos infinitos, que nos dá uma fórmula direta para o campo elétrico criado por cada plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico criado por cada um dos planos individualmente. A fórmula para o campo elétrico E gerado por um plano infinito com densidade superficial de carga sigma é:
E = sigma2varepsilon0
Onde:
  • sigma é a densidade superficial de carga,
  • varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2) é a permissividade do vácuo.
O campo gerado por um plano é sempre perpendicular à superfície do plano. Além disso:
  • Se a carga for positiva ( sigma > 0), o campo sai do plano.
  • Se a carga for negativa ( sigma < 0), o campo entra no plano.
Vamos calcular o campo de cada plano:
Para o plano 1 ( sigma1 = -15,0 , nC/m^2):
E1 = sigma12varepsilon0 = -15,0 times 10^-9 , C/m^22 times 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2) approx -847,5 , kV/m
O sinal negativo indica que o campo está direcionado para dentro do plano.
Para o plano 2 ( sigma2 = +20,0 , nC/m^2):
E2 = sigma22varepsilon0 = 20,0 times 10^-9 , C/m^22 times 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2) approx 1136,6 , kV/m
O campo positivo indica que está saindo do plano.

Passo 3

Agora, vamos analisar a região (a): à esquerda dos dois planos.
Nessa região, ambos os campos elétricos E1 e E2 estão apontando na mesma direção (para a esquerda), já que:
  • O campo do plano 1 ( E1) aponta para dentro do plano, ou seja, para a esquerda.
  • O campo do plano 2 ( E2) também aponta para a esquerda, já que está saindo do plano positivo na direção oposta.
Então, para encontrar o campo total Er à esquerda, basta somar os dois campos:
Er = E1 + E2 = -847,5 , kV/m + 1136,6 , kV/m = 289,1 , kV/m

Passo 4

Vamos para a região (b): à direita dos dois planos.
Nessa região, os campos elétricos provenientes de ambos os planos também estão na mesma direção (para a direita), pois:
  • O campo do plano 1 ( E1) aponta para a esquerda, mas como estamos do outro lado, ele passa a apontar para a direita.
  • O campo do plano 2 ( E2) aponta para fora do plano positivo, ou seja, para a direita.
Assim, somamos os campos:
Er = E1 + E2 = -847,5 , kV/m + 1136,6 , kV/m = 289,1 , kV/m

Passo 5

Finalmente, vamos para a região ©: entre os dois planos carregados.
Aqui, os campos elétricos provenientes de cada plano estão em sentidos opostos:
  • O campo do plano 1 ( E1) aponta para dentro do plano, ou seja, para a direita.
  • O campo do plano 2 ( E2) aponta para fora do plano positivo, ou seja, também para a direita.
Portanto, os campos estão alinhados na mesma direção, e somamos os valores absolutos:
Er = E1 + E2 = -847,5 , kV/m + 1136,6 , kV/m = 289,1 , kV/m

Resposta

A componente Er do campo elétrico resultante é de aproximadamente 289,1 , kV/m tanto à esquerda, à direita quanto entre os planos carregados.

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