Dois reservatórios rigidos são ligados por uma válvula, que se encontra inicialmente fechada. O reservatório A, com 3 m^3 contém ar a pressão absoluta de 500 kPa e 127^circ C e o reservatório B contem 10 kg de ar, à pressão de 200 kPa e temperatura de 67^circ C.
c) Se a válvula é repentinamente aberta e a pressão e temperaturas dos dois reservatórios são rapidamente equalizadas, qual seriam a temperatura e pressão atingidas? (1,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois reservatórios rígidos conectados por uma válvula. O primeiro (Reservatório A) tem 3 m³ de ar a 500 kPa e 127°C. O segundo (Reservatório B) tem 10 kg de ar a 200 kPa e 67°C. Quando a válvula é aberta rapidinho, a pressão e a temperatura vão se igualar nos dois. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será essa pressão e temperatura finais. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de massa e de energia, além da lei dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa de ar que está no Reservatório A. Para isso, usamos a lei dos gases ideais, que é dada por:
PV = mRT
Onde:
  • m = PVRT é a pressão,
  • mA = 500 times 30,287 times 400 é o volume,
  • mA approx 1500114,8 é a massa,
  • mA approx 13,07 , kg é a constante dos gases,
  • é a temperatura absoluta.
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar a massa:
Precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
  • Para o Reservatório A:
  • Para o Reservatório B:
Assumindo que o ar tem , vamos calcular a massa no Reservatório A:

Passo 3

Agora, vamos somar as massas dos dois reservatórios para obter a massa total após a mistura:
mtotal = mA + mB
mtotal = 13,07 + 10
mtotal = 23,07 , kg

Passo 4

A energia interna total antes da mistura deve ser igual à energia interna total depois da mistura, já que o processo é adiabático (sem troca de calor). A energia interna do ar é dada por:
U = m cdot cv cdot T
Onde mA cdot cv cdot TA + mB cdot cv cdot TB = mtotal cdot cv cdot Tf é a capacidade calorífica a volume constante. Para o ar, mA cdot TA + mB cdot TB = mtotal cdot Tf .
Vamos escrever a equação de conservação de energia:
Tf = mA cdot TA + mB cdot TBmtotal
Podemos simplificar Tf = 13,07 cdot 400 + 10 cdot 34023,07 dos dois lados:
Tf = 5228 + 340023,07
Agora, isolando Tf = 862823,07 :
Tf approx 374 , K
Substituindo os valores:
Tf = 374 - 273
Tf approx 101°C
Convertendo de volta para Celsius:

Passo 5

Com a temperatura final conhecida, podemos usar a lei dos gases ideais para encontrar a pressão final. A fórmula é:
Pf = mtotal cdot R cdot TfVtotal
Precisamos saber o volume total. Como ambos os reservatórios são rígidos, somamos os volumes:
Vtotal = VA + VB
Mas não temos o volume do Reservatório B. No entanto, podemos usar a pressão e a temperatura iniciais para encontrar VB = mB cdot R cdot TBPB :
Usando a lei dos gases para o Reservatório B:
VB = 10 cdot 0,287 cdot 340200
Substituindo os valores:
VB = 974200
VB = 4,87 , m³
Vtotal = 3 + 4,87 ³
Agora, somamos os volumes:
Vtotal = 7,87 , m³
Pf = 23,07 cdot 0,287 cdot 3747,87 ³
Agora, calculamos a pressão final:
Pf = 23,07 cdot 0,287 cdot 3747,87
Pf approx 23,07 times 107,1387,87
Pf approx 2467,6247,87
Pf approx 313,7 , kPa

Resposta

A pressão final atingida é de aproximadamente 314 kPa e a temperatura final é de cerca de 101°C.

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