Dois reservatórios rigidos são ligados por uma válvula, que se encontra inicialmente fechada. O reservatório
, com
contém ar a pressão absoluta de 500 kPa e
e o reservatório B contem 10 kg de ar, à pressão de 200 kPa e temperatura de
.
c) Se a válvula é repentinamente aberta e a pressão e temperaturas dos dois reservatórios são rapidamente equalizadas, qual seriam a temperatura e pressão atingidas?
c) Se a válvula é repentinamente aberta e a pressão e temperaturas dos dois reservatórios são rapidamente equalizadas, qual seriam a temperatura e pressão atingidas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois reservatórios rígidos conectados por uma válvula. O primeiro (Reservatório A) tem 3 m³ de ar a 500 kPa e 127°C. O segundo (Reservatório B) tem 10 kg de ar a 200 kPa e 67°C. Quando a válvula é aberta rapidinho, a pressão e a temperatura vão se igualar nos dois. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será essa pressão e temperatura finais. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de massa e de energia, além da lei dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa de ar que está no Reservatório A. Para isso, usamos a lei dos gases ideais, que é dada por:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a massa, -
é a constante dos gases, -
é a temperatura absoluta.
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar a massa:
Precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
- Para o Reservatório A:
- Para o Reservatório B:
Assumindo que o ar tem
, vamos calcular a massa no Reservatório A:
Passo 3
Agora, vamos somar as massas dos dois reservatórios para obter a massa total após a mistura:
Passo 4
A energia interna total antes da mistura deve ser igual à energia interna total depois da mistura, já que o processo é adiabático (sem troca de calor). A energia interna do ar é dada por:
Onde
é a capacidade calorífica a volume constante. Para o ar,
.
Vamos escrever a equação de conservação de energia:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Agora, isolando
:
Substituindo os valores:
Convertendo de volta para Celsius:
Passo 5
Com a temperatura final conhecida, podemos usar a lei dos gases ideais para encontrar a pressão final. A fórmula é:
Precisamos saber o volume total. Como ambos os reservatórios são rígidos, somamos os volumes:
Mas não temos o volume do Reservatório B. No entanto, podemos usar a pressão e a temperatura iniciais para encontrar
:
Usando a lei dos gases para o Reservatório B:
Substituindo os valores:
Agora, somamos os volumes:
Agora, calculamos a pressão final:
Resposta
A pressão final atingida é de aproximadamente 314 kPa e a temperatura final é de cerca de 101°C.