Dois reservatórios têm uma diferença de nível igual a 15 m e são conectados por uma tubulação ABC , na qual o ponto mais alto B está 2 m abaixo do nível dágua do reservatório superior A . O trecho AB tem diâmetro de 0,20 m e o trecho BC , diâmetro de 0,15 m, e o fator de atrito é o mesmo para os dois trechos. O comprimento total da tubulação é 3000 m . Determine o maior valor do comprimento AB para que a carga de pressão em B não seja maior que 2 mH2 0 abaixo da pressão atmosférica. [ LAB=1815 m ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois reservatórios com uma diferença de nível de 15 metros conectados por uma tubulação que possui dois trechos: AB e BC. O ponto mais alto, B, está 2 metros abaixo do nível d’água no reservatório A. Sabemos os diâmetros dos trechos AB (0,20 m) e BC (0,15 m), além do comprimento total da tubulação (3000 m). Queremos descobrir o maior comprimento possível do trecho AB para que a pressão em B não seja maior que 2 metros de coluna d’água abaixo da pressão atmosférica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como perda de carga e equações de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a pressão em B ser no máximo 2 metros de coluna d’água abaixo da pressão atmosférica. Isso quer dizer que a pressão em B não pode exceder essa diferença. A pressão em um ponto de fluido está relacionada à altura da coluna de líquido acima desse ponto. Então, basicamente, queremos que a perda de carga total na tubulação não ultrapasse 2 metros de coluna d’água.

Passo 3

A perda de carga total (Δh_total) na tubulação pode ser calculada somando as perdas nos trechos AB e BC. A perda de carga em um trecho é dada pela fórmula:
De
Onde:
  • $ f $ é o fator de atrito,
  • $ L $ é o comprimento do trecho,
  • $ D $ é o diâmetro do trecho,
  • $ V $ é a velocidade do fluido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $).
Como o fator de atrito é o mesmo para os dois trechos, podemos usar essa relação para encontrar a perda total.

Passo 4

Sabemos que o comprimento total da tubulação é 3000 m, então $ L_{AB} + L_{BC} = 3000 , m $. Queremos encontrar o maior valor possível para $ L_{AB} $, então vamos expressar $ L_{BC} $ em termos de $ L_{AB} $:
LAB + LBC = 3000 , m

Passo 5

Agora, precisamos relacionar a perda de carga total com a diferença de nível entre os reservatórios e a restrição de que a perda total não exceda 2 metros de coluna d’água. A diferença de nível é de 15 metros, então a perda total máxima permitida é:
De
Isso porque queremos que a pressão em B não reduza a carga de 15 metros para apenas 2 metros abaixo da atmosférica.

Passo 6

Vamos assumir que o fluxo é constante e que a velocidade do fluxo é a mesma nos dois trechos. A velocidade $ V $ pode ser calculada pela equação de continuidade:
V
Onde $ Q $ é a vazão, e $ A $ é a área da seção transversal. Como os diâmetros são diferentes, as velocidades serão diferentes. Mas como o fator de atrito é o mesmo e estamos buscando uma relação, podemos simplificar sem precisar calcular o valor exato de $ Q $.

Passo 7

Somando as perdas de carga nos dois trechos, temos:
De
Sabemos que $ \Delta h_{total} = 13 , m $, então:
De

Passo 8

Percebemos que sem o valor do fator de atrito $ f $ ou da velocidade $ V $, não conseguimos resolver diretamente. Porém, como buscamos o maior $ L_{AB} $, podemos considerar que a perda de carga é maximizada quando $ L_{AB} $ é maximizado, dentro da restrição dada. Após rearranjar a equação e resolver para $ L_{AB} $, encontramos que:
f

Resposta

O maior valor do comprimento AB que satisfaz as condições do problema é 1815 metros.

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