Osborne Reynolds por meio de experimentos verificou que fluidos reais (viscosos) escoam em regimes caracterizados como laminar ou turbulento. Sabendo que o fluido escoa em regime laminar, sendo a massa específica do fluido de 1800 kg / m^3, viscosidade de 0,20 kg / m s, ao longo de 10 m da tubulação com diâmetro de 2 cm e o regime de escoamento obedece a função de velocidade para qualquer valor do raio do tubo v®=8(1 (r / R)^2), determine o número de Reynolds e vazão volumétrica em m^3 / h. Calcule o comprimento hidrodinâmico de entrada e esquematize abaixo a camada limite de uma tubulação e a região onde o escoamento se apresenta o regime plenamente desenvolvimento. Determine a tensão de cisalhamento na parede da tubulação.
Resposta: 720; 0,00125 m³/s; 0,864 m; 320 Pa .

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre o escoamento de fluidos em tubulações, focando nos regimes laminar e turbulento. O enunciado nos dá informações sobre um fluido viscoso que escoa em regime laminar por uma tubulação. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como número de Reynolds, vazão volumétrica, comprimento hidrodinâmico de entrada, camada limite, escoamento em desenvolvimento e tensão de cisalhamento. Usaremos fórmulas da mecânica dos fluidos e propriedades do fluido fornecidas no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o número de Reynolds (Re), que nos ajuda a identificar o regime de escoamento (laminar ou turbulento). A fórmula do número de Reynolds é:
Re = rho v Dmu
Onde:
  • rho é a massa específica do fluido ( 1800 , kg/m^3),
  • v é a velocidade média do fluido,
  • D é o diâmetro da tubulação ( 2 , cm = 0,02 , m),
  • mu é a viscosidade do fluido ( 0,20 , kg/m cdot s).
Para encontrar v, precisamos calcular a vazão volumétrica (Q) primeiro.

Passo 3

A vazão volumétrica (Q) é dada pela integral da função de velocidade sobre a área da seção transversal da tubulação:
Q = integral0^R 2pi r v(r) , dr
A função de velocidade fornecida é v(r) = 8(1 - (rR)^2), onde R é o raio da tubulação ( R = D2 = 0,01 , m).
Substituindo v(r):
Q = integral0^0,01 2pi r cdot 8(1 - (r0,01)^2) , dr = 16pi integral0^0,01 r (1 - (r0,01)^2) , dr
Resolvendo a integral:
Q = 16pi [ r^22 - r^44 cdot (0,01)^2 ]0^0,01 = 16pi ( (0,01)^22 - (0,01)^44 cdot 0,0001 )
Calculando:
Q = 16pi ( 0,00005 - 0,000025 ) = 16pi cdot 0,000025 = 0,00125 , m^3/s

Passo 4

Agora que temos Q = 0,00125 , m^3/s, podemos encontrar a velocidade média v usando:
Q = v cdot A
Onde A é a área da seção transversal:
A = pi R^2 = pi (0,01)^2 = 0,000314 , m^2
Então:
v = QA = 0,001250,000314 approx 3,98 , m/s

Passo 5

Com a velocidade média v approx 3,98 , m/s, podemos calcular o número de Reynolds (Re):
Re = 1800 times 3,98 times 0,020,20 = 1800 times 0,07960,20 = 143,280,20 = 716,4
Arredondando, temos Re approx 720.

Passo 6

Agora, vamos determinar o comprimento hidrodinâmico de entrada (Lh). A fórmula para Lh em escoamento laminar é:
Lh = 0,05 times D times Re
Substituindo os valores:
Lh = 0,05 times 0,02 times 720 = 0,05 times 14,4 = 0,72 , m

Passo 7

A tensão de cisalhamento na parede da tubulação ( tauw) pode ser calculada pela fórmula:
tauw = mu times dudrg|r=R
Dada a função de velocidade v(r) = 8(1 - (rR)^2), a derivada em relação a r é:
dvdr = -16 rR^2
Avaliado na parede ( r = R):
dvdrg|r=R = -16 RR^2 = -16 1R = -16 10,01 = -1600 , m/s^2
Então:
tauw = 0,20 times 1600 = 320 , Pa

Passo 8

Por fim, esquematizar a camada limite na tubulação envolve representar a região próxima à parede onde ocorre a variação da velocidade do fluido, e indicar a região de escoamento em pleno desenvolvimento, onde o perfil de velocidade permanece constante ao longo do comprimento da tubulação após o comprimento hidrodinâmico de entrada.

Resposta

720; 0,00125 m³/s; 0,72 m; 320 Pa.

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