Por uma tubulação de
de diâmetro e 1500 m de comprimento, passa uma vazão de
de água. Em uma determinada seção, a tubulação divide-se em dois trechos iguais de 18 de diâmetro, 3000 m de comprimento, descarregando livremente na atmosfera. Em um destes trechos, toda a vazão que entra na extremidade de montante é distribuída ao longo da tubulação, com uma vazão por unidade de comprimento uniforme e, no outro, metade da vazão que entra é distribuída uniformemente ao longo do trecho. Adotando para todas as tubulações um fator de atrito
e supondo que todo o sistema está em um plano horizontal, determine a diferença de carga entre as seções de entrada e a saída. Despreze as perdas singulares. Dados:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de hidráulica de tubulações, especificamente como calcular a diferença de carga (ΔH) entre a entrada e a saída de um sistema de tubulações que se divide em dois ramos. Para resolver, vamos precisar entender como a vazão de água se distribui nas tubulações, calcular as perdas de carga por atrito usando a fórmula de Darcy-Weisbach e somar tudo para encontrar a diferença de carga total.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sistema. Temos uma tubulação principal de diâmetro de 27 polegadas e comprimento de 1500 metros, com uma vazão de 0,28 m³/s passando por ela. Em um ponto dessa tubulação, ela se divide em dois ramos iguais, cada um com diâmetro de 18 polegadas e comprimento de 3000 metros. Um desses ramos distribui toda a vazão uniformemente ao longo, e o outro distribui metade dessa vazão de forma uniforme. Nosso objetivo é encontrar a diferença de carga entre a entrada e a saída do sistema.
Passo 3
Vamos começar convertendo as unidades de diâmetro de polegadas para metros para facilitar os cálculos:
- 1 polegada = 0,0254 metros
- Diâmetro principal: 27" = 27 × 0,0254 = 0,6858 m
- Diâmetro dos ramos: 18" = 18 × 0,0254 = 0,4572 m
Passo 4
Agora, precisamos calcular as áreas das seções transversais das tubulações para achar as velocidades da água em cada ramo. A área (A) de um círculo é dada por:
Calculando para cada tubulação:
- Área da tubulação principal (A₁):
- Área dos ramos (A₂ e A₃):
Passo 5
A seguir, determinamos as velocidades da água em cada tubulação usando a fórmula:
Onde Q é a vazão e A é a área:
- Velocidade na tubulação principal (V₁):
- Como a tubulação se divide em dois ramos, um com toda a vazão (Q₂ = 0,28 m³/s) e outro com metade (Q₃ = 0,14 m³/s):
Passo 6
Agora, vamos calcular as perdas de carga por atrito em cada trecho usando a equação de Darcy-Weisbach:
Onde:
- $ f $ é o fator de atrito (0,024),
- $ L $ é o comprimento da tubulação,
- $ D $ é o diâmetro da tubulação,
- $ V $ é a velocidade da água,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
Passo 7
Vamos calcular as perdas de carga para cada trecho:
- Tubulação principal:
- Primeiro ramo (Q₂ = 0,28 m³/s):
- Segundo ramo (Q₃ = 0,14 m³/s):
Passo 8
Como as tubulações dos ramos descarregam na atmosfera e estão no mesmo plano, a diferença de carga total será a soma das perdas de carga nos trechos principais e nos ramos:
No entanto, considerando que as perdas nos ramos se equilibram com a divisão da vazão, a diferença de carga efetiva no sistema é de aproximadamente 4,35 metros, que corresponde à perda na tubulação principal.
Resposta
A diferença de carga entre as seções de entrada e a saída é de aproximadamente 4,35 metros.