Dois tanques com água a são conectados por um tubo capilar de 4 mm de diâmetro e de comprimento. A superfície do tanque 1 está 30 cm acima da superfície do tanque 2. (a) Estime a vazão em . O escoamento é laminar? (b) Para que diâmetro de tubo Red será igual a 500? DADOS:

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos dois tanques de água a 20°C conectados por um tubo capilar. Queremos:
a) Estimar a vazão da água em metros cúbicos por hora (m³/h) e verificar se o escoamento é laminar.
b) Encontrar o diâmetro do tubo para que o número de Reynolds (Re) seja igual a 500.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, como a Lei de Hagen-Poiseuille para vazão em escoamento laminar e a fórmula do número de Reynolds para determinar o regime do escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença de pressão que está impulsionando a água dos tanques. A diferença de altura entre os tanques cria uma pressão devido à gravidade.
A pressão diferencial (ΔP) é dada por:
Onde:
  • é a densidade da água (998 kg/m³)
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²)
  • é a diferença de altura (0,30 m)

Passo 3

Vamos calcular ΔP:

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei de Hagen-Poiseuille para encontrar a vazão ( ) no escoamento laminar:
Onde:
  • é o raio do tubo (diâmetro/2 = 0,002 m)
  • é a viscosidade dinâmica da água (0,001 kg/(m·s))
  • é o comprimento do tubo (3,5 m)

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então,

Passo 6

Para converter a vazão de m³/s para m³/h, multiplicamos por 3600 (segundos em uma hora):

Passo 7

Agora, vamos verificar se o escoamento é laminar. Para isso, calculamos o número de Reynolds (Re):
Onde:
  • é a velocidade do fluido
  • é o diâmetro do tubo (0,004 m)
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade . Sabemos que , onde é a área da seção transversal do tubo:
Então,

Passo 8

Agora, calculamos Re:
Como o número de Reynolds está abaixo de 2000, o escoamento é laminar.

Passo 9

Para a parte (b), queremos encontrar o diâmetro que resulta em .
Usamos a fórmula do número de Reynolds rearranjada para :
Mas primeiro, precisamos da velocidade . Vamos usar a relação entre vazão e área:
Substituindo em :
Resolvendo para :

Passo 10

Substituindo os valores para :
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então,

Resposta

a) A vazão estimada é de aproximadamente 0,019 m³/h e o escoamento é laminar.
b) O diâmetro do tubo para que o número de Reynolds seja igual a 500 é de aproximadamente 4,21 mm.

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