Dois tanques com água a
são conectados por um tubo capilar de 4 mm de diâmetro e
de comprimento. A superfície do tanque 1 está 30 cm acima da superfície do tanque 2. (a) Estime a vazão em
. O escoamento é laminar? (b) Para que diâmetro de tubo Red será igual a 500? DADOS:
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos dois tanques de água a 20°C conectados por um tubo capilar. Queremos:
a) Estimar a vazão da água em metros cúbicos por hora (m³/h) e verificar se o escoamento é laminar.
b) Encontrar o diâmetro do tubo para que o número de Reynolds (Re) seja igual a 500.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, como a Lei de Hagen-Poiseuille para vazão em escoamento laminar e a fórmula do número de Reynolds para determinar o regime do escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a diferença de pressão que está impulsionando a água dos tanques. A diferença de altura entre os tanques cria uma pressão devido à gravidade.
A pressão diferencial (ΔP) é dada por:
Onde:
-
é a densidade da água (998 kg/m³) -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²) -
é a diferença de altura (0,30 m)
Passo 3
Vamos calcular ΔP:
Passo 4
Agora, vamos usar a Lei de Hagen-Poiseuille para encontrar a vazão (
) no escoamento laminar:
Onde:
-
é o raio do tubo (diâmetro/2 = 0,002 m) -
é a viscosidade dinâmica da água (0,001 kg/(m·s)) -
é o comprimento do tubo (3,5 m)
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então,
Passo 6
Para converter a vazão de m³/s para m³/h, multiplicamos por 3600 (segundos em uma hora):
Passo 7
Agora, vamos verificar se o escoamento é laminar. Para isso, calculamos o número de Reynolds (Re):
Onde:
-
é a velocidade do fluido -
é o diâmetro do tubo (0,004 m)
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade
. Sabemos que
, onde
é a área da seção transversal do tubo:
Então,
Passo 8
Agora, calculamos Re:
Como o número de Reynolds está abaixo de 2000, o escoamento é laminar.
Passo 9
Para a parte (b), queremos encontrar o diâmetro
que resulta em
.
Usamos a fórmula do número de Reynolds rearranjada para
:
Mas primeiro, precisamos da velocidade
. Vamos usar a relação entre vazão e área:
Substituindo em
:
Resolvendo para
:
Passo 10
Substituindo os valores para
:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então,
Resposta
a) A vazão estimada é de aproximadamente 0,019 m³/h e o escoamento é laminar.
b) O diâmetro do tubo para que o número de Reynolds seja igual a 500 é de aproximadamente 4,21 mm.
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e
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e
.