Dois tanques com água a 20^circ C são conectados por um tubo capilar de 4 mm de diâmetro e 3,5 m de comprimento. A superfície do tanque 1 está 30 cm acima da superfície do tanque 2. (a) Estime a vazão em m^3 / h. O escoamento é laminar? (b) Para que diâmetro de tubo Red será igual a 500? DADOS: rho=998 kgm^3 ; mu= 0,001 kg /(m s)

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos dois tanques de água a 20°C conectados por um tubo capilar. Queremos:
a) Estimar a vazão da água em metros cúbicos por hora (m³/h) e verificar se o escoamento é laminar.
b) Encontrar o diâmetro do tubo para que o número de Reynolds (Re) seja igual a 500.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, como a Lei de Hagen-Poiseuille para vazão em escoamento laminar e a fórmula do número de Reynolds para determinar o regime do escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença de pressão que está impulsionando a água dos tanques. A diferença de altura entre os tanques cria uma pressão devido à gravidade.
A pressão diferencial (ΔP) é dada por:
De
Onde:
  • é a densidade da água (998 kg/m³)
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²)
  • é a diferença de altura (0,30 m)

Passo 3

Vamos calcular ΔP:
De

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei de Hagen-Poiseuille para encontrar a vazão ( Q = pi cdot r^4 cdot De) no escoamento laminar:
Onde:
  • é o raio do tubo (diâmetro/2 = 0,002 m)
  • é a viscosidade dinâmica da água (0,001 kg/(m·s))
  • é o comprimento do tubo (3,5 m)

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Q = pi times (0,002 , m)^4 times 2.940 , Pa8 times 0,001 , kg/(m·s) times 3,5 , m
Calculando o numerador:
pi times (0,002)^4 times 2.940 approx 3,1416 times 1,6 times 10^-11 times 2.940 approx 1,49 times 10^-7
E o denominador:
8 times 0,001 times 3,5 = 0,028
Então,
Q = 1,49 times 10^-70,028 approx 5,32 times 10^-6 , m^3/s

Passo 6

Para converter a vazão de m³/s para m³/h, multiplicamos por 3600 (segundos em uma hora):
Q = 5,32 times 10^-6 , m^3/s times 3600 approx 0,019 , m^3/h

Passo 7

Agora, vamos verificar se o escoamento é laminar. Para isso, calculamos o número de Reynolds (Re):
Re = rho cdot v cdot Dmu
Onde:
  • A = pi cdot D^24 = pi times (0,004)^24 approx 1,257 times 10^-4 , m^2 é a velocidade do fluido
  • v = QA = 5,32 times 10^-61,257 times 10^-4 approx 0,042 , m/s é o diâmetro do tubo (0,004 m)
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade . Sabemos que , onde é a área da seção transversal do tubo:
Então,

Passo 8

Agora, calculamos Re:
Re = 998 times 0,042 times 0,0040,001 approx 168
Como o número de Reynolds está abaixo de 2000, o escoamento é laminar.

Passo 9

Para a parte (b), queremos encontrar o diâmetro D = Re cdot murho cdot v que resulta em v = QA = Qpi D^24 = 4Qpi D^2 .
Usamos a fórmula do número de Reynolds rearranjada para D = Re cdot murho cdot 4Qpi D^2 = Re cdot mu cdot pi D^24 rho Q :
D^3 = Re cdot mu cdot pi4 rho Q
Mas primeiro, precisamos da velocidade D = ( Re cdot mu cdot pi4 rho Q )^1/3 . Vamos usar a relação entre vazão e área:
Substituindo em :
Resolvendo para :

Passo 10

Substituindo os valores para D = ( 500 times 0,001 times 3,14164 times 998 times 5,32 times 10^-6 )^1/3 :
500 times 0,001 times 3,1416 approx 1,5708
Calculando o numerador:
4 times 998 times 5,32 times 10^-6 approx 0,0213
E o denominador:
D^3 = 1,57080,0213 approx 73,62
Então,
D = (73,62)^1/3 approx 4,21 , mm

Resposta

a) A vazão estimada é de aproximadamente 0,019 m³/h e o escoamento é laminar.
b) O diâmetro do tubo para que o número de Reynolds seja igual a 500 é de aproximadamente 4,21 mm.

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