Para
, a) esta função-corrente é fisicamente possível? (b) ela representa escoamento potencial? Explique com cálculos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função-corrente
. A questão está dividida em duas partes:
a) Verificar se essa função-corrente é fisicamente possível.
b) Determinar se ela representa um escoamento potencial, explicando com cálculos.
a) Verificar se essa função-corrente é fisicamente possível.
b) Determinar se ela representa um escoamento potencial, explicando com cálculos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre funções-correntes e escoamentos potenciais.
Passo 2
Vamos começar verificando se a função-corrente é fisicamente possível. Em fluidos incompressíveis e bidimensionais, a função-corrente
deve satisfazer a condição de que a divergência do campo de velocidade seja zero, o que já é garantido pela própria definição da função-corrente. Além disso, as componentes da velocidade
e
podem ser obtidas a partir de
pelas relações:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando
e
:
Agora, precisamos verificar se essas componentes de velocidade são consistentes com um escoamento fisicamente possível, ou seja, se elas satisfazem as condições de fluido contínuo e não apresentam comportamentos não físicos.
Passo 4
Para garantir que o escoamento é fisicamente possível, devemos verificar se a velocidade é finita e bem definida em todos os pontos do fluxo. Observando as expressões de
e
, não há termos que causem infinidades ou indeterminações para valores finitos de
e
. Portanto, a função-corrente é fisicamente possível.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o escoamento é potencial. Um escoamento é potencial se o campo de velocidade é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial
tal que:
Além disso, em um escoamento potencial, a circulação em torno de qualquer caminho fechado é zero, o que implica que as derivadas cruzadas das componentes de velocidade devem ser iguais:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 6
Calculando as derivadas cruzadas:
Como
, a condição para um escoamento potencial não é satisfeita.
Resposta
a) A função-corrente é fisicamente possível.
b) Ela não representa um escoamento potencial.
b) Ela não representa um escoamento potencial.
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