Para psi=3 x-32 x y^2, a) esta função-corrente é fisicamente possível? (b) ela representa escoamento potencial? Explique com cálculos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função-corrente . A questão está dividida em duas partes:
a) Verificar se essa função-corrente é fisicamente possível.
b) Determinar se ela representa um escoamento potencial, explicando com cálculos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre funções-correntes e escoamentos potenciais.

Passo 2

Vamos começar verificando se a função-corrente é fisicamente possível. Em fluidos incompressíveis e bidimensionais, a função-corrente u = partial psipartial y, v = -partial psipartial x deve satisfazer a condição de que a divergência do campo de velocidade seja zero, o que já é garantido pela própria definição da função-corrente. Além disso, as componentes da velocidade e podem ser obtidas a partir de pelas relações:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando u = partialpartial y(3x - 32xy^2) = -3xy e v = -partialpartial x(3x - 32xy^2) = -(3 - 32y^2) = -3 + 32y^2 :
Agora, precisamos verificar se essas componentes de velocidade são consistentes com um escoamento fisicamente possível, ou seja, se elas satisfazem as condições de fluido contínuo e não apresentam comportamentos não físicos.

Passo 4

Para garantir que o escoamento é fisicamente possível, devemos verificar se a velocidade é finita e bem definida em todos os pontos do fluxo. Observando as expressões de e , não há termos que causem infinidades ou indeterminações para valores finitos de e . Portanto, a função-corrente é fisicamente possível.

Passo 5

Agora, vamos verificar se o escoamento é potencial. Um escoamento é potencial se o campo de velocidade é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial u = partial phipartial x, v = partial phipartial y tal que:
partial upartial y = partial vpartial x
Além disso, em um escoamento potencial, a circulação em torno de qualquer caminho fechado é zero, o que implica que as derivadas cruzadas das componentes de velocidade devem ser iguais:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 6

Calculando as derivadas cruzadas:
partial upartial y = partial (-3xy)partial y = -3x
partial vpartial x = partial (-3 + 32y^2)partial x = 0
Como , a condição para um escoamento potencial não é satisfeita.

Resposta

a) A função-corrente é fisicamente possível.
b) Ela não representa um escoamento potencial.

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