Um campo de escoamentos bidimensional é descrito pela velocidade
. Existe um potencial velocidade? Em caso afirmativo, qual é ele?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo de escoamento bidimensional descrito pela velocidade
. Queremos saber se existe um potencial de velocidade para esse campo e, em caso afirmativo, qual é esse potencial. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de escoamento potencial e escoamento irrotacional.
Passo 2
Um escoamento possui um potencial de velocidade se ele for irrotacional, ou seja, se a rotação (ou circulante) do campo de velocidade for zero. Matemáticamente, isso é verificado calculando o rotacional da velocidade
. Em duas dimensões, o rotacional é dado por:
onde
e
são as componentes da velocidade nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar as componentes
e
do nosso campo de velocidade:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, podemos determinar o rotacional:
Como o rotacional é zero, o escoamento é irrotacional, o que significa que existe um potencial de velocidade para esse campo.
Passo 5
Para encontrar o potencial de velocidade
, usamos as relações:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Integrando
em relação a
, obtemos:
Onde
é uma constante de integração, que pode ser desprezada no potencial de velocidade.
Resposta
O potencial de velocidade é dado por: