Um campo de escoamentos bidimensional é descrito pela velocidade V= -2 x i+(2 y+2) j. Existe um potencial velocidade? Em caso afirmativo, qual é ele?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo de escoamento bidimensional descrito pela velocidade V = -2x,i + (2y + 2),j. Queremos saber se existe um potencial de velocidade para esse campo e, em caso afirmativo, qual é esse potencial. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de escoamento potencial e escoamento irrotacional.

Passo 2

Um escoamento possui um potencial de velocidade se ele for irrotacional, ou seja, se a rotação (ou circulante) do campo de velocidade for zero. Matemáticamente, isso é verificado calculando o rotacional da velocidade V. Em duas dimensões, o rotacional é dado por:
rot V = partial vpartial x - partial upartial y
onde u e v são as componentes da velocidade nas direções i e j, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes u e v do nosso campo de velocidade:
u = -2x v = 2y + 2
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional:
partial vpartial x = partialpartial x(2y + 2) = 0 partial upartial y = partialpartial y(-2x) = 0

Passo 4

Com as derivadas calculadas, podemos determinar o rotacional:
rot V = 0 - 0 = 0
Como o rotacional é zero, o escoamento é irrotacional, o que significa que existe um potencial de velocidade para esse campo.

Passo 5

Para encontrar o potencial de velocidade phi(x,y), usamos as relações:
u = partial phipartial x v = partial phipartial y
Vamos integrar u em relação a x para encontrar phi:
phi(x,y) = integral u , dx = integral (-2x) , dx = -x^2 + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 6

Agora, derivamos phi(x,y) em relação a y e igualamos a v para encontrar g(y):
partial phipartial y = partialpartial y(-x^2 + g(y)) = g'(y) = 2y + 2
Integrando g'(y) em relação a y, obtemos:
g(y) = y^2 + 2y + C
Onde C é uma constante de integração, que pode ser desprezada no potencial de velocidade.

Resposta

O potencial de velocidade é dado por:
phi(x,y) = -x^2 + y^2 + 2y

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