Dois times de futebol, $A$ e $B$, jogam entre si seis vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar quatro jogos.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: temos dois times de futebol, A e B, que jogam entre si 6 vezes. Queremos descobrir qual é a probabilidade de o time A ganhar exatamente 4 desses jogos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de **probabilidade binomial**, que é útil quando temos um número fixo de tentativas e cada tentativa tem dois resultados possíveis (neste caso, vitória do time A ou não).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula da probabilidade binomial. Aqui, o número total de jogos é 6 (n = 6) e queremos que o time A ganhe 4 deles (k = 4). A probabilidade de o time A ganhar um único jogo vamos considerar como 50%, ou seja, p = 0,5.
A fórmula da probabilidade binomial é:
$$
P(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
Onde:
- $\binom{n}{k}$ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
- $p$ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
- $(1-p)$ é a probabilidade de falha em uma tentativa.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente binomial $\binom{6}{4}$. Isso representa o número de maneiras diferentes que o time A pode ganhar 4 jogos em 6.
$$
\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{720}{24 \cdot 2} = \frac{720}{48} = 15
$$
Então, existem 15 maneiras diferentes de o time A ganhar 4 jogos em 6.
Passo 4
Agora, vamos aplicar todos os valores na fórmula da probabilidade binomial:
$$
P(4) = 15 \cdot (0.5)^4 \cdot (1-0.5)^{6-4} = 15 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^2 = 15 \cdot (0.5)^6 = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64} \approx 0.234375
$$
Resposta
A probabilidade de o time A ganhar exatamente 4 dos 6 jogos é de $\frac{15}{64}$, ou aproximadamente **23,44%**.