Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson, com uma média de 4. Determine as seguintes probabilidades:
(a) P(X=0)
(b) P(X <= 2).
© P(X=4).
(d) P(X=8).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que precisamos fazer. Temos uma variável aleatória P(X = k) = e^-lambda lambda^kk! que segue uma distribuição de Poisson com média . A distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Para resolver as probabilidades pedidas, vamos precisar da fórmula da distribuição de Poisson:
onde:
  • é a base do logaritmo natural,
  • é a média,
  • é o número de eventos,
  • é o fatorial de .

Passo 2

Vamos calcular P(X = 0) = e^-4 cdot 4^00! = e^-4 cdot 11 = e^-4 , que é a probabilidade de não ocorrer nenhum evento. Usando a fórmula:
e^-4 approx 0,0183
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos calcular P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) , que é a probabilidade de ocorrerem 0, 1 ou 2 eventos. Precisamos somar as probabilidades de P(X = 0) = e^-4 approx 0,0183 , P(X = 1) = e^-4 cdot 4^11! = e^-4 cdot 41 = 4e^-4 approx 0,0733 e P(X = 2) = e^-4 cdot 4^22! = e^-4 cdot 162 = 8e^-4 approx 0,1465 :
P(X <= 2) approx 0,0183 + 0,0733 + 0,1465 = 0,2381
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Passo 4

Vamos calcular P(X = 4) = e^-4 cdot 4^44! = e^-4 cdot 25624 = 25624 e^-4 approx 10,6667 cdot 0,0183 approx 0,1954 , a probabilidade de ocorrer exatamente 4 eventos. Usamos a fórmula da Poisson:

Passo 5

Por fim, vamos calcular P(X = 8) = e^-4 cdot 4^88! = e^-4 cdot 6553640320 approx 6553640320 e^-4 approx 1,625 e^-4 approx 1,625 cdot 0,0183 approx 0,0298 , a probabilidade de ocorrer exatamente 8 eventos:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

Exercícios relacionados