Dois veículos têm velocidades determinadas pelos vetores v1=(a,b+2,-2), sendo a e b reais e v2=(2,0,-2). Determine a soma de a+b, sabendo-se que 2v1=v2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas velocidades representadas por vetores: $ \mathbf{v}_1 = (a, b+2, -2) $ e $ \mathbf{v}_2 = (2, 0, -2) $. A gente precisa descobrir o valor de $ a + b $, sabendo que $ 2\mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_2 $. Vamos usar conceitos de vetores e operações com eles para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ 2\mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_2 $. Isso quer dizer que se multiplicarmos cada componente do vetor $ \mathbf{v}_1 $ por 2, vamos obter o vetor $ \mathbf{v}_2 $. Em termos matemáticos, fica assim:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar cada componente de $ \mathbf{v}_1 $ por 2:
Simplificando isso, temos:
Passo 4
Para que esses dois vetores sejam iguais, cada componente correspondente precisa ser igual. Ou seja:
- $ 2a = 2 $
- $ 2b + 4 = 0 $
- $ -4 = -2 $
Vamos resolver essas equações uma por uma.
Passo 5
Primeira equação: $ 2a = 2 $
Dividindo os dois lados por 2:
Passo 6
Segunda equação: $ 2b + 4 = 0 $
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Passo 7
Terceira equação: $ -4 = -2 $
Olha só, isso não faz sentido! Isso significa que não existe um valor real de $ a $ e $ b $ que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, não há solução para esse sistema com os valores fornecidos.
Resposta
Não existe uma solução real para $ a + b $ que satisfaça $ 2\mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_2 $.