Dois vetores, de 10 e 8 unidades de comprimento, formam um ângulo de
. Determine o módulo da diferença e o ângulo que esta faz com o vetor maior. Respostas: (a)
unidades;
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores com magnitudes de 10 e 8 unidades que formam um ângulo de
entre eles. O que a gente precisa descobrir é o módulo da diferença desses dois vetores e o ângulo que essa diferença forma com o vetor maior. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como subtrair vetores. Se temos dois vetores
e
, a diferença deles é
. O módulo dessa diferença pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui,
e
são os módulos dos vetores, e
é o ângulo entre eles.
Passo 3
Vamos aplicar os valores que temos na fórmula. Temos
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular passo a passo:
-
Calcular os quadrados dos módulos:
e . -
Calcular
. -
Calcular
. -
Multiplicar:
. -
Subtrair:
. -
Tirar a raiz quadrada:
.
Arredondando, temos
unidades.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ângulo que a diferença
faz com o vetor maior
. Para isso, usamos a seguinte fórmula do cosseno para encontrar o ângulo
:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Passo 6
Vamos calcular:
-
Calcular os quadrados:
, , . -
Somar e subtrair:
. -
Calcular o denominador:
. -
Dividir:
. -
Agora, tirar o arco cosseno:
.
Como a diferença está no sentido oposto ao vetor maior, o ângulo é negativo:
.
Resposta
(a)
unidades;
.