Dois vetores, de 10 e 8 unidades de comprimento, formam um ângulo de 60^circ. Determine o módulo da diferença e o ângulo que esta faz com o vetor maior. Respostas: (a) D=9,2 unidades; theta=-49^circ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores com magnitudes de 10 e 8 unidades que formam um ângulo de 60^circ entre eles. O que a gente precisa descobrir é o módulo da diferença desses dois vetores e o ângulo que essa diferença forma com o vetor maior. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como subtrair vetores. Se temos dois vetores A e B, a diferença deles é D = A - B. O módulo dessa diferença pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
|D| = raiz|A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|cos(theta)
Aqui, |A| e |B| são os módulos dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos aplicar os valores que temos na fórmula. Temos |A| = 10, |B| = 8 e theta = 60^circ. Substituindo esses valores:
|D| = raiz10^2 + 8^2 - 2 times 10 times 8 times cos(60^circ)

Passo 4

Agora, vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular os quadrados dos módulos:
    10^2 = 100 e 8^2 = 64.
  2. Calcular 2 times 10 times 8 = 160.
  3. Calcular cos(60^circ) = 0,5.
  4. Multiplicar: 160 times 0,5 = 80.
  5. Subtrair: 100 + 64 - 80 = 84.
  6. Tirar a raiz quadrada: raiz84 approx 9,17.
Arredondando, temos |D| approx 9,2 unidades.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ângulo que a diferença D faz com o vetor maior A. Para isso, usamos a seguinte fórmula do cosseno para encontrar o ângulo theta:
cos(theta) = |A|^2 + |D|^2 - |B|^22|A||D|
Substituindo os valores que já conhecemos:
cos(theta) = 10^2 + 9,2^2 - 8^22 times 10 times 9,2

Passo 6

Vamos calcular:
  1. Calcular os quadrados:
    10^2 = 100, 9,2^2 approx 84,64, 8^2 = 64.
  2. Somar e subtrair: 100 + 84,64 - 64 = 120,64.
  3. Calcular o denominador: 2 times 10 times 9,2 = 184.
  4. Dividir: 120,64184 approx 0,6565.
  5. Agora, tirar o arco cosseno: theta = cos^-1(0,6565) approx 49^circ.
Como a diferença está no sentido oposto ao vetor maior, o ângulo é negativo: theta approx -49^circ.

Resposta

(a) D = 9,2 unidades; theta = -49^circ.

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