Se
e
são vetores não colineares e
e
, achar os valores de
e
que fazem
. Resposta:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve vetores e igualdade de combinações lineares. A gente precisa encontrar os valores de $ x $ e $ y $ que fazem com que três vezes o vetor $ \vec{A} $ seja igual a duas vezes o vetor $ \vec{B} $. Para isso, vamos usar propriedades de vetores e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as expressões para $ 3\vec{A} $ e $ 2\vec{B} $. Sabemos que:
Multiplicando cada parte por 3:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo com $ \vec{B} $:
Multiplicando por 2:
Passo 4
Como queremos que $ 3\vec{A} = 2\vec{B} $, podemos igualar as componentes dos vetores correspondentes:
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema de duas equações com duas incógnitas:
- $ 3x + 12y = 2y - 4x + 4 $
- $ 6x + 3y + 3 = 4x - 6y - 2 $
Primeiro, simplificamos a primeira equação:
Então, a segunda equação:
Passo 6
Agora temos o sistema simplificado:
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, multiplicar a segunda equação por 5 para facilitar a eliminação:
Agora, subtraímos a primeira equação da segunda:
Passo 7
Agora, vamos resolver para $ x $ em termos de $ y $ na primeira equação simplificada:
Substituindo esse valor na equação $ 3x + 35y = -29 $:
Multiplicando tudo por 7 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 8
Agora que temos $ y = -1 $, vamos substituir esse valor na expressão para $ x $:
Resposta
Os valores que satisfazem a equação $ 3\vec{A} = 2\vec{B} $ são $ x = 2 $ e $ y = -1 $.