Se a e b são vetores não colineares e A=(x+4 y) a+(2 x+y+1) b e B=(y-2 x+2) a+(2 x-3 y-1) b, achar os valores de x e y que fazem 3 A=2 B. Resposta: x=2 e y=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve vetores e igualdade de combinações lineares. A gente precisa encontrar os valores de $ x $ e $ y $ que fazem com que três vezes o vetor $ \vec{A} $ seja igual a duas vezes o vetor $ \vec{B} $. Para isso, vamos usar propriedades de vetores e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões para $ 3\vec{A} $ e $ 2\vec{B} $. Sabemos que:
3A
Multiplicando cada parte por 3:
2B

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo com $ \vec{B} $:
B
Multiplicando por 2:
B = (y - 2x + 2)a + (2x - 3y - 1)b

Passo 4

Como queremos que $ 3\vec{A} = 2\vec{B} $, podemos igualar as componentes dos vetores correspondentes:
3A = 2B
3x + 12y = 2y - 4x + 4 (componente de a )

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. $ 3x + 12y = 2y - 4x + 4 $
  2. $ 6x + 3y + 3 = 4x - 6y - 2 $
Primeiro, simplificamos a primeira equação:
3x + 12y = 2y - 4x + 4
Então, a segunda equação:
6x + 3y + 3 = 4x - 6y - 2

Passo 6

Agora temos o sistema simplificado:
7x + 10y = 4 2x + 9y = -5
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, multiplicar a segunda equação por 5 para facilitar a eliminação:
7x + 10y = 4 10x + 45y = -25
Agora, subtraímos a primeira equação da segunda:
(10x + 45y) - (7x + 10y) = -25 - 4 Rightarrow 3x + 35y = -29

Passo 7

Agora, vamos resolver para $ x $ em termos de $ y $ na primeira equação simplificada:
x
Substituindo esse valor na equação $ 3x + 35y = -29 $:
y
Multiplicando tudo por 7 para eliminar o denominador:
7x + 10y = 4 Rightarrow 7x = 4 - 10y Rightarrow x = 4 - 10y7
Simplificando:
3x + 35y = -29

Passo 8

Agora que temos $ y = -1 $, vamos substituir esse valor na expressão para $ x $:
y = -1

Resposta

Os valores que satisfazem a equação $ 3\vec{A} = 2\vec{B} $ são $ x = 2 $ e $ y = -1 $.

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