Dois vetores, r e s, estão no plano-xy. Seus módulos são 4,50 unidades e 7,30 unidades, respectivamente e eles estão orientados a 320^circ e 85^circ, respectivamente, no sentido anti-horário em relação ao sentindo positivo do eixo x. Quais são os valores de (a) r.s e (b) r times s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores no plano xy! Temos dois vetores, r e s, com módulos de 4,50 e 7,30 unidades, respectivamente. Eles estão orientados em ângulos de 320° e 85° em relação ao eixo x positivo, no sentido anti-horário. Vamos calcular duas coisas: (a) o produto escalar rs e (b) o produto vetorial r×s. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de produto escalar e vetorial que envolvem ângulos e magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. A fórmula é:
r cdot s = |r| cdot |s| cdot cos(theta)
Onde:
  • e são os módulos dos vetores.
  • é o ângulo entre eles.

Passo 3

Para achar o ângulo theta = |320° - 85°| = 235° entre os vetores r e s, subtraímos os ângulos de cada vetor em relação ao eixo x:
Como o cosseno de 235° é o mesmo que o de 235° - 180° = 55°, mas negativo, podemos usar diretamente 235° na fórmula.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar usando os valores:
r cdot s = 4,50 cdot 7,30 cdot cos(235°)
Calculando o cosseno de 235°:
cos(235°) approx -0,5736
Então:
r cdot s = 4,50 cdot 7,30 cdot (-0,5736) approx -18,85

Passo 5

Agora, vamos para o produto vetorial. Em duas dimensões, o produto vetorial de r e s resulta em um escalar que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores. A fórmula é:
r times s = |r| cdot |s| cdot sin(theta)
Onde é o mesmo ângulo entre os vetores.

Passo 6

Usando o ângulo de 235°, vamos calcular o seno:
sin(235°) approx -0,8192
Agora, aplicamos na fórmula:
r times s = 4,50 cdot 7,30 cdot (-0,8192) approx -26,89

Resposta

(a) O produto escalar rs é aproximadamente -18,85 unidades.
(b) O produto vetorial r×s é aproximadamente -26,89 unidades.

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