Dois vetores,
e s, estão no plano-xy. Seus módulos são 4,50 unidades e 7,30 unidades, respectivamente e eles estão orientados a
e
, respectivamente, no sentido anti-horário em relação ao sentindo positivo do eixo
. Quais são os valores de (a) r.s e (b)
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores no plano xy! Temos dois vetores, r e s, com módulos de 4,50 e 7,30 unidades, respectivamente. Eles estão orientados em ângulos de 320° e 85° em relação ao eixo x positivo, no sentido anti-horário. Vamos calcular duas coisas: (a) o produto escalar r⋅s e (b) o produto vetorial r×s. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de produto escalar e vetorial que envolvem ângulos e magnitudes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. A fórmula é:
Onde:
-
e são os módulos dos vetores. -
é o ângulo entre eles.
Passo 3
Para achar o ângulo
entre os vetores r e s, subtraímos os ângulos de cada vetor em relação ao eixo x:
Como o cosseno de 235° é o mesmo que o de 235° - 180° = 55°, mas negativo, podemos usar diretamente 235° na fórmula.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar usando os valores:
Calculando o cosseno de 235°:
Então:
Passo 5
Agora, vamos para o produto vetorial. Em duas dimensões, o produto vetorial de r e s resulta em um escalar que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores. A fórmula é:
Onde
é o mesmo ângulo entre os vetores.
Passo 6
Usando o ângulo de 235°, vamos calcular o seno:
Agora, aplicamos na fórmula:
Resposta
(a) O produto escalar r⋅s é aproximadamente -18,85 unidades.
(b) O produto vetorial r×s é aproximadamente -26,89 unidades.