(a) se a posição de uma partícula é dada por x=20 t^2-5 t^3, onde x está em metros e t em segundos, quando, se acontecer, a velocidade da partícula é zero? (b) Quando a aceleração é nula? © Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração é negativa? (d) positiva?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por , onde está em metros e em segundos. A questão pede para a gente descobrir quando a velocidade e a aceleração da partícula são zero, além de saber nos quais intervalos o a aceleração é negativa ou positiva. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas: a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a segunda derivada da posição (ou a primeira derivada da velocidade) em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade v(t) = dxdt = ddt(20t^2 - 5t^3) = 40t - 15t^2 é a derivada de em relação a :
Então, .

Passo 3

Para saber quando a velocidade é zero, a gente resolve 40t - 15t^2 = 0 :
t(40 - 15t) = 0
Podemos fatorar t = 0 ou 40 - 15t = 0 Rightarrow t = 4015 = 83 approx 2,666 segundos :
Isso nos dá duas soluções:

Passo 4

Agora, vamos achar a aceleração a(t) = dvdt = ddt(40t - 15t^2) = 40 - 30t , que é a derivada da velocidade:
Então, .

Passo 5

Para descobrir quando a aceleração é zero, resolvemos 40 - 30t = 0 Rightarrow 30t = 40 Rightarrow t = 4030 = 43 approx 1,333 segundos :

Passo 6

Agora, vamos determinar quando a aceleração é negativa. Olhando para a expressão da aceleração:
a(t) = 40 - 30t < 0
Resolvendo a inequação:
40 - 30t < 0 Rightarrow -30t < -40 Rightarrow t > 4030 = 43 approx 1,333 segundos
Então, a aceleração é negativa para .

Passo 7

Por fim, para saber quando a aceleração é positiva, observamos o contrário:
a(t) = 40 - 30t > 0 Rightarrow 40 - 30t > 0 Rightarrow t < 4030 = 43 approx 1,333 segundos
Portanto, a aceleração é positiva para .

Resposta

(a) A velocidade da partícula é zero em segundos e segundos.
(b) A aceleração é nula em segundos.
© A aceleração é negativa para segundos.
(d) A aceleração é positiva para segundos.

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