(a) se a posição de uma partícula é dada por
, onde
está em metros e
em segundos, quando, se acontecer, a velocidade da partícula é zero? (b) Quando a aceleração é nula? © Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração é negativa? (d) positiva?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por
, onde
está em metros e
em segundos. A questão pede para a gente descobrir quando a velocidade e a aceleração da partícula são zero, além de saber nos quais intervalos o a aceleração é negativa ou positiva. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas: a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a segunda derivada da posição (ou a primeira derivada da velocidade) em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade
é a derivada de
em relação a
:
Então,
.
Passo 3
Para saber quando a velocidade é zero, a gente resolve
:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 4
Agora, vamos achar a aceleração
, que é a derivada da velocidade:
Então,
.
Passo 5
Para descobrir quando a aceleração é zero, resolvemos
:
Passo 6
Agora, vamos determinar quando a aceleração é negativa. Olhando para a expressão da aceleração:
Resolvendo a inequação:
Então, a aceleração é negativa para
.
Passo 7
Por fim, para saber quando a aceleração é positiva, observamos o contrário:
Portanto, a aceleração é positiva para
.
Resposta
(a) A velocidade da partícula é zero em
segundos e
segundos.
(b) A aceleração é nula em
segundos.
© A aceleração é negativa para
segundos.
(d) A aceleração é positiva para
segundos.