Dois vetores são dados por A=4 i-3 j+k e B=-i+j+4 k. Determine o módulo do vetor A-B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, o A e o B, definidos por suas componentes em i, j e k. O objetivo aqui é descobrir o módulo (ou seja, o tamanho) do vetor resultante quando subtraímos o B do A. Para isso, vamos precisar entender como subtrair vetores e, depois, usar a fórmula do módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a subtração dos dois vetores. Quando subtraímos vetores, a gente subtrai as componentes correspondentes de cada vetor. Ou seja:
A - B = (4i - 3j + k) - (-i + j + 4k)

Passo 3

Agora, vamos distribuir o sinal de subtração para cada componente do vetor B:
A - B = 4i - 3j + k + i - j - 4k

Passo 4

Em seguida, vamos somar as componentes semelhantes:
  • As componentes de i: A - B = 5i - 4j - 3k
  • As componentes de j:
  • As componentes de k:
Então, o vetor resultante é:

Passo 5

Agora que temos o vetor A - B, vamos calcular o seu módulo. A fórmula para o módulo de um vetor |V| = raiza^2 + b^2 + c^2 é:
|A - B| = raiz5^2 + (-4)^2 + (-3)^2
Aplicando isso ao nosso vetor:

Passo 6

Vamos calcular cada termo dentro da raiz:
5^2 = 25 (-4)^2 = 16 (-3)^2 = 9
Somando esses valores:
25 + 16 + 9 = 50

Passo 7

Por fim, tiramos a raiz quadrada desse total para achar o módulo:
|A - B| = raiz50 = raiz25 times 2 = 5raiz2

Resposta

O módulo do vetor é .

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