Quando dois vetores são linearmente independentes? Dê um exemplo gráfico (desenhe!) de dois vetores linearmente dependentes em R^2.

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos saber quando dois vetores são linearmente independentes e também dar um exemplo gráfico de dois vetores linearmente dependentes em . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de independência linear e saber identificar se dois vetores são ou não múltiplos um do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre independência linear. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo escalar do outro. Em outras palavras, não existe um número tal que .

Passo 3

Para verificar se dois vetores em são linearmente independentes, podemos colocar os vetores como colunas em uma matriz e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Mas como estamos falando de apenas dois vetores, podemos simplificar: se eles não estão na mesma direção, são independentes.

Passo 4

Agora, para dar um exemplo gráfico de dois vetores linearmente dependentes, imagine dois vetores que apontam exatamente na mesma direção ou em direções opostas. Por exemplo, considere os vetores 2 4 e 1 2 .

Passo 5

Observando os vetores e , vemos que . Isso significa que é apenas o vetor escalado por 2. Graficamente, isso significa que ambos os vetores estão na mesma linha, com duas vezes maior que .

Passo 6

Como os vetores e estão na mesma direção, eles são linearmente dependentes. Se os desenharmos no plano, ambos estarão alinhados na mesma linha reta, seja apontando na mesma direção ou em direções opostas.

Resposta

Dois vetores são linearmente independentes quando não são múltiplos um do outro, ou seja, não estão na mesma direção. Um exemplo gráfico de dois vetores linearmente dependentes em 2 4 seria dois vetores alinhados na mesma reta, como 1 2 e , onde é o dobro de .

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Dados os vetores U1=2 V1-V2+5 V3, U2=-V1-V2, U3=-2 V1+3 V3 e U4=6 V1-2 V2+10 V3, calcule: 3 U2-5 U1+U3.
Suponha que
det([lll a & b & c d & e & f g & h & i ])=-2
Calcule o determinante das seguintes matrizes
©
[lll d & e & f a & b & c g & h & i ]
Dados os vetores U1=2 V1-V2+5 V3, U2=-V1-V2, U3=-2 V1+3 V3 e U4=6 V1-2 V2+10 V3, calcule: U2-U1-U3-U4.