Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio, a imagem e construir o gráfico da função . Isso é da matéria de funções exponenciais. Para isso, vamos precisar entender o que é domínio, imagem e como funcionam as funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores que pode assumir para que a função esteja bem definida. Na função exponencial, o pode ser qualquer número real, porque exponenciais estão definidas para todos os números reais.
Então, o domínio de é:
í
(O conjunto de todos os números reais.)

Passo 3

Agora, vamos descobrir a imagem da função, que são todos os valores que pode assumir. Sabemos que uma função exponencial do tipo , onde e , sempre resulta em valores positivos, ou seja, para todo .
No nosso caso, é positivo, então:
(Todos os números reais positivos.)

Passo 4

Vamos agora entender como construir o gráfico da função . Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Isso mostra que é uma função exponencial decrescente, porque o expoente é negativo.

Passo 5

Vamos identificar alguns pontos importantes do gráfico:
  1. Ponto de interseção com o eixo y: Isso acontece quando .
Então, o ponto é .
  1. Comportamento para grande positivo:
    À medida que aumenta, tende a 0.
  1. Comportamento para grande negativo:
    À medida que diminui, tende ao infinito.

Passo 6

Vamos esboçar o gráfico com base nesses pontos e comportamentos:
  • O gráfico passa pelo ponto .
  • Conforme aumenta, a função se aproxima do eixo (mas nunca toca), indicando uma assíntota horizontal em .
  • Conforme diminui, a função cresce sem limites, indo para cima no gráfico.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais).
  • Imagem: (todos os números reais positivos).
  • Gráfico: Uma curva exponencial decrescente que passa pelo ponto , se aproxima do eixo à medida que aumenta, e cresce sem limites à medida que diminui.

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Restrinja o domínio da função do exercício anterior de modo que seja possível encontrar uma função invertível. Determine sua inversa.
A função é invertível? Justifique sua resposta.
Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:
Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções: