Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função
, além de desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas, como determinar onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que você pode colocar na função e obter um resultado válido. Como temos um logaritmo, precisamos lembrar que o argumento do logaritmo deve ser positivo. Ou seja,
.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
:
Então, o domínio da função é todos os números maiores que 1.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto dos valores que
pode assumir. Sabemos que o logaritmo pode resultar em qualquer número real, ou seja, de
a
.
Passo 5
Resumindo:
- Domínio:
- Imagem:
(todos os números reais)
Passo 6
Por último, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que o gráfico de uma função logarítmica tem uma assimptota vertical onde o argumento do logaritmo é zero. No nosso caso, a assimptota está em
.
Passo 7
Além disso, para
:
- Quando
se aproxima de 1, vai para . - Conforme
aumenta, também aumenta, passando por (porque ) e continuando a subir.
Passo 8
Então, o gráfico vai começar perto de
com
muito negativo e vai subindo lentamente para a direita, passando pelo ponto
e continuando infinito conforme
aumenta.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Gráfico: Função logarítmica com assimptota vertical em
, passando pelo ponto e aumentando indefinidamente à medida que cresce.
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