Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função , além de desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas, como determinar onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que você pode colocar na função e obter um resultado válido. Como temos um logaritmo, precisamos lembrar que o argumento do logaritmo deve ser positivo. Ou seja, .

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade :
Então, o domínio da função é todos os números maiores que 1.

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto dos valores que pode assumir. Sabemos que o logaritmo pode resultar em qualquer número real, ou seja, de a .

Passo 5

Resumindo:
  • Domínio:
  • Imagem: (todos os números reais)

Passo 6

Por último, vamos esboçar o gráfico da função . Sabemos que o gráfico de uma função logarítmica tem uma assimptota vertical onde o argumento do logaritmo é zero. No nosso caso, a assimptota está em .

Passo 7

Além disso, para :
  • Quando se aproxima de 1, vai para .
  • Conforme aumenta, também aumenta, passando por (porque ) e continuando a subir.

Passo 8

Então, o gráfico vai começar perto de com muito negativo e vai subindo lentamente para a direita, passando pelo ponto e continuando infinito conforme aumenta.

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Gráfico: Função logarítmica com assimptota vertical em , passando pelo ponto e aumentando indefinidamente à medida que cresce.

Exercícios relacionados

Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:
Restrinja o domínio da função do exercício anterior de modo que seja possível encontrar uma função invertível. Determine sua inversa.
Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:
Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções: