Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas sobre essa função: o domínio (ou seja, quais valores de a gente pode colocar nessa função), a imagem (os possíveis resultados ou valores que pode assumir) e também desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções exponenciais e como elas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que a gente pode inserir na função sem problemas.
A função que temos é . Aqui, a base da potência é 2, que é um número positivo diferente de 1. Uma coisa legal sobre funções exponenciais como essa é que elas estão definidas para todos os números reais. Não tem nada que impeça a gente de colocar qualquer valor de .
Então, o domínio é:
í
Isso significa que pode ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir.
A função exponencial tem como característica principal que o resultado dela é sempre positivo, independente de . Isso porque qualquer potência de um número positivo (como 2) nunca dá zero ou um número negativo.
Além disso, sabemos que:
  • Quando aumenta, diminui, então também diminui.
  • Quando tende ao infinito positivo, tende a 0.
  • Quando tende ao infinito negativo, tende ao infinito.
Portanto, a imagem da função é:
Isso significa que pode ser qualquer número positivo maior que zero.

Passo 4

Por último, vamos construir o gráfico da função .
Para desenhar o gráfico, vamos seguir alguns passos:
  1. Calcula alguns valores para e :
    • Se :
    • Se :
    • Se :
    • Se :
  2. Desenha o gráfico:
    • No grafico, está no eixo horizontal e no eixo vertical.
    • Plota os pontos que calculamos: (0,2), (1,1), (2,0.5), (-1,4).
    • Lembra que a função nunca toca o eixo , ela se aproxima disso quando cresce.
    • Também cresce sem limite quando fica bem negativo.
  3. Forma geral do gráfico:
    • A função é decrescente porque, à medida que aumenta, diminui.
Então, o gráfico vai começar alto quando é pequeno (negativo) e vai descendo à medida que aumenta.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem: (todos os números reais positivos)
  • Gráfico: Uma curva decrescente que passa pelos pontos (−1, 4), (0, 2), (1, 1) e (2, 0,5), aproximando-se do eixo conforme cresce.

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