Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função
. Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas sobre essa função: o domínio (ou seja, quais valores de
a gente pode colocar nessa função), a imagem (os possíveis resultados ou valores que
pode assumir) e também desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções exponenciais e como elas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que a gente pode inserir na função sem problemas.
A função que temos é
. Aqui, a base da potência é 2, que é um número positivo diferente de 1. Uma coisa legal sobre funções exponenciais como essa é que elas estão definidas para todos os números reais. Não tem nada que impeça a gente de colocar qualquer valor de
.
Então, o domínio é:
Isso significa que
pode ser qualquer número real.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir.
A função exponencial
tem como característica principal que o resultado dela é sempre positivo, independente de
. Isso porque qualquer potência de um número positivo (como 2) nunca dá zero ou um número negativo.
Além disso, sabemos que:
- Quando
aumenta, diminui, então também diminui. - Quando
tende ao infinito positivo, tende a 0. - Quando
tende ao infinito negativo, tende ao infinito.
Portanto, a imagem da função é:
Isso significa que
pode ser qualquer número positivo maior que zero.
Passo 4
Por último, vamos construir o gráfico da função
.
Para desenhar o gráfico, vamos seguir alguns passos:
-
Calcula alguns valores para
e : - Se
: - Se
: - Se
: - Se
:
- Se
-
Desenha o gráfico:
- No grafico,
está no eixo horizontal e no eixo vertical. - Plota os pontos que calculamos: (0,2), (1,1), (2,0.5), (-1,4).
- Lembra que a função nunca toca o eixo
, ela se aproxima disso quando cresce. - Também cresce sem limite quando
fica bem negativo.
- No grafico,
-
Forma geral do gráfico:
- A função é decrescente porque, à medida que
aumenta, diminui.
- A função é decrescente porque, à medida que
Então, o gráfico vai começar alto quando
é pequeno (negativo) e vai descendo à medida que
aumenta.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais) - Imagem:
(todos os números reais positivos) - Gráfico: Uma curva decrescente que passa pelos pontos (−1, 4), (0, 2), (1, 1) e (2, 0,5), aproximando-se do eixo
conforme cresce.
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