Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio, a imagem e construir o gráfico da função
. Vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos um logaritmo, precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo.
Isso significa que:
Então, o domínio da função é todos os números reais positivos.
Passo 3
Agora, vamos achar a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores de
. Sabemos que a função logarítmica
pode assumir qualquer valor real, já que para
tendendo a zero,
vai para
e para
tendendo ao infinito,
vai para
.
Como estamos somando 2 a
, isso apenas desloca a imagem para cima, mas continua cobrindo todos os números reais. Portanto, a imagem da função também é todos os números reais.
Passo 4
Agora, vamos construir o gráfico da função
. Primeiro, sabemos que a função logarítmica básica
passa pelo ponto
porque
.
Ao somar 2, estamos deslocando o gráfico para cima em 2 unidades. Então, o ponto
passa a ser
.
Além disso, como
aumenta lentamente conforme
aumenta, o gráfico de
também aumenta lentamente a partir do ponto
.
O gráfico terá uma assíntota vertical em
e não haverá assíntota horizontal, já que a função cresce sem limites conforme
aumenta.
Resposta
- Domínio:
- Imagem: Todos os números reais (
) - Gráfico: Um gráfico de uma função logarítmica deslocada 2 unidades para cima, passando pelo ponto
, com assíntota vertical em e crescimento lento à medida que aumenta.
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