Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio, a imagem e construir o gráfico da função . Vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos um logaritmo, precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo.
Isso significa que:
Então, o domínio da função é todos os números reais positivos.

Passo 3

Agora, vamos achar a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores de . Sabemos que a função logarítmica pode assumir qualquer valor real, já que para tendendo a zero, vai para e para tendendo ao infinito, vai para .
Como estamos somando 2 a , isso apenas desloca a imagem para cima, mas continua cobrindo todos os números reais. Portanto, a imagem da função também é todos os números reais.

Passo 4

Agora, vamos construir o gráfico da função . Primeiro, sabemos que a função logarítmica básica passa pelo ponto porque .
Ao somar 2, estamos deslocando o gráfico para cima em 2 unidades. Então, o ponto passa a ser .
Além disso, como aumenta lentamente conforme aumenta, o gráfico de também aumenta lentamente a partir do ponto .
O gráfico terá uma assíntota vertical em e não haverá assíntota horizontal, já que a função cresce sem limites conforme aumenta.

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem: Todos os números reais ( )
  • Gráfico: Um gráfico de uma função logarítmica deslocada 2 unidades para cima, passando pelo ponto , com assíntota vertical em e crescimento lento à medida que aumenta.

Exercícios relacionados

Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:
Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:
Dê o domínio, a imagem e construa o gráfico de um período completo das seguintes funções:
Calcule as integrais abaixo: