Domínio e imagem da função f(x) = 1/x
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio e a imagem da função $ f(x) = \frac{1}{x} $. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de funções na Matemática, especificamente em entender para quais valores de $ x $ a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para resolver isso, vamos precisar lembrar que não dá para dividir por zero e também analisar como a função se comporta conforme $ x $ varia.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Observando $ f(x) = \frac{1}{x} $, vemos que o denominador é $ x $. Lembre-se que não podemos dividir por zero, porque a divisão por zero não é definida na Matemática. Então, precisamos garantir que $ x $ nunca seja igual a zero.
Passo 3
Assim, o domínio da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ é todos os números reais menos zero. Em notação matemática, isso fica assim:
Ou, usando intervalos:
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que $ f(x) $ pode assumir. Para isso, vamos pensar em como $ f(x) = \frac{1}{x} $ se comporta conforme $ x $ varia:
- Quando $ x $ é um número positivo muito grande, $ \frac{1}{x} $ fica muito próximo de zero.
- Quando $ x $ é um número positivo pequeno, $ \frac{1}{x} $ cresce e vai tendendo ao infinito positivo.
- Quando $ x $ é um número negativo muito grande, $ \frac{1}{x} $ fica muito próximo de zero, mas do lado negativo.
- Quando $ x $ é um número negativo pequeno, $ \frac{1}{x} $ cresce em magnitude negativa, indo para o infinito negativo.
Importante notar que $ f(x) $ nunca será igual a zero, porque não existe $ x $ tal que $ \frac{1}{x} = 0 $.
Passo 5
Portanto, a imagem da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ é também todos os números reais menos zero. Em notação matemática:
Ou, usando intervalos:
Resposta
Domínio: $ \mathbb{R} \setminus {0} $ ou $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $
Imagem: $ \mathbb{R} \setminus {0} $ ou $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $