A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$ 10,00, 200 deles são vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos a mais. Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo?
R$ 2.000,00
R$ 3.200,00
R$ 3.600,00
R$ 4.000,00 R$ 4.800,00.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma dona de lanchonete que vende um combo por R$ 10,00 e consegue vender 200 desses combos por dia. Ela percebe que, para cada redução de R$ 1,00 no preço, ela vende mais 100 combos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a arrecadação máxima diária que ela pode obter com a venda desse combo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática básica, especificamente sobre funções de receita e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar nossa resolução. Vamos chamar de:
  • P: o preço do combo.
  • Q: a quantidade de combos vendidos.
  • R: a receita total, que é o produto do preço pela quantidade vendida.
A receita total é dada por:
R = P times Q

Passo 3

Agora, vamos entender como o preço e a quantidade estão relacionados. Inicialmente, o preço é de R$ 10,00 e a quantidade vendida é de 200 combos. Para cada redução de R$ 1,00 no preço, a quantidade vendida aumenta em 100 combos.
Vamos chamar de x o número de reduções de R$ 1,00 no preço. Então:
  • O novo preço será:
10,00 e a quantidade vendida é de 200 combos Para cada redução de R
  • A nova quantidade vendida será:
1,00 no preço Então: - O novo preço será:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões na fórmula da receita:
R = P times Q
R = (10 - x) times (200 + 100x)
Vamos expandir essa expressão:
R = 10 times 200 + 10 times 100x - x times 200 - x times 100x
R = 2000 + 1000x - 200x - 100x^2
R = 2000 + 800x - 100x^2

Passo 5

Para encontrar o valor de x que maximiza a receita, vamos derivar a função R em relação a x e igualar a zero:
dRdx = 800 - 200x
800 - 200x = 0
200x = 800
x = 4

Passo 6

Agora que encontramos que x = 4, vamos substituir esse valor nas expressões de P e Q para encontrar o preço e a quantidade que maximizam a receita:
  • Preço:
P = 10 - x = 10 - 4 = 6 reais
  • Quantidade:
Q = 200 + 100x = 200 + 100 times 4 = 600 combos

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a receita máxima:
R = P times Q = 6 times 600 = 3600 reais

Resposta

A máxima arrecadação diária que a dona da lanchonete espera obter é de R$ 3.600,00.

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