A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$ 10,00, 200 deles são vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos a mais. Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo?
R$ 2.000,00
R$ 3.200,00
R$ 3.600,00
R$ 4.000,00 R$ 4.800,00.
R$ 2.000,00
R$ 3.200,00
R$ 3.600,00
R$ 4.000,00 R$ 4.800,00.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma dona de lanchonete que vende um combo por R$ 10,00 e consegue vender 200 desses combos por dia. Ela percebe que, para cada redução de R$ 1,00 no preço, ela vende mais 100 combos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a arrecadação máxima diária que ela pode obter com a venda desse combo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática básica, especificamente sobre funções de receita e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar nossa resolução. Vamos chamar de:
- P: o preço do combo.
- Q: a quantidade de combos vendidos.
- R: a receita total, que é o produto do preço pela quantidade vendida.
A receita total é dada por:
Passo 3
Agora, vamos entender como o preço e a quantidade estão relacionados. Inicialmente, o preço é de R$ 10,00 e a quantidade vendida é de 200 combos. Para cada redução de R$ 1,00 no preço, a quantidade vendida aumenta em 100 combos.
Vamos chamar de x o número de reduções de R$ 1,00 no preço. Então:
- O novo preço será:
- A nova quantidade vendida será:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas expressões na fórmula da receita:
Vamos expandir essa expressão:
Passo 5
Para encontrar o valor de x que maximiza a receita, vamos derivar a função R em relação a x e igualar a zero:
Passo 6
Agora que encontramos que x = 4, vamos substituir esse valor nas expressões de P e Q para encontrar o preço e a quantidade que maximizam a receita:
- Preço:
- Quantidade:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a receita máxima:
Resposta
A máxima arrecadação diária que a dona da lanchonete espera obter é de R$ 3.600,00.