O dono de uma quitanda vende 80 quilogramas de um certo produto por dia, a um preço de 10 reais por quilograma. A cada aumento de 1 real no preço, ele deixa de vender 4 quilogramas do produto. Para quanto esse preço deve ser aumentado se ele deseja maximizar seu faturamento diário?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um dono de quitanda que vende 80 kg de um produto por dia a R$10,00 por quilo. A cada aumento de R$1,00 no preço, ele vende 4 kg a menos. Queremos descobrir quanto ele deve aumentar o preço para maximizar o faturamento diário. Vamos usar conceitos de função de receita e maximização de funções quadráticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o aumento no preço, em reais.
O novo preço por quilo será:

Passo 3

Agora, vamos ver como a quantidade vendida muda com o aumento do preço. A cada R$1,00 que ele aumenta o preço, ele vende 4 kg a menos. Então, a nova quantidade vendida será:

Passo 4

A receita diária ( ) é o produto do preço pela quantidade vendida:
Substituindo as expressões de e :

Passo 5

Vamos expandir essa expressão para facilitar a análise:

Passo 6

Agora, temos uma função quadrática na forma padrão:
A função quadrática representa um “degrau para baixo” porque o coeficiente de é negativo. Isso significa que existe um ponto máximo para a receita.

Passo 7

Para encontrar o valor de que maximiza a receita, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Onde:
Substituindo:

Resposta

O dono deve aumentar o preço em R$5,00 por quilo para maximizar o faturamento diário.

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Prove por indução que para cada .
Prove por indução que para todo .
Dada a função definida pela fórmula , determine:
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