O dono de uma quitanda vende 80 quilogramas de um certo produto por dia, a um preço de 10 reais por quilograma. A cada aumento de 1 real no preço, ele deixa de vender 4 quilogramas do produto. Para quanto esse preço deve ser aumentado se ele deseja maximizar seu faturamento diário?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um dono de quitanda que vende 80 kg de um produto por dia a R$10,00 por quilo. A cada aumento de R$1,00 no preço, ele vende 4 kg a menos. Queremos descobrir quanto ele deve aumentar o preço para maximizar o faturamento diário. Vamos usar conceitos de função de receita e maximização de funções quadráticas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o aumento no preço, em reais.
O novo preço por quilo será:
Passo 3
Agora, vamos ver como a quantidade vendida muda com o aumento do preço. A cada R$1,00 que ele aumenta o preço, ele vende 4 kg a menos. Então, a nova quantidade vendida será:
Passo 4
A receita diária (
) é o produto do preço pela quantidade vendida:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 5
Vamos expandir essa expressão para facilitar a análise:
Passo 6
Agora, temos uma função quadrática na forma padrão:
A função quadrática representa um “degrau para baixo” porque o coeficiente de
é negativo. Isso significa que existe um ponto máximo para a receita.
Passo 7
Para encontrar o valor de
que maximiza a receita, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Onde:
Substituindo:
Resposta
O dono deve aumentar o preço em R$5,00 por quilo para maximizar o faturamento diário.
Exercícios relacionados
Prove por indução que para cada
.
Prove por indução que para todo
.
Dada a função
definida pela fórmula
, determine:
Suponha que o preço por uma corrida de táxi seja de 3,44 reais, mais 0,90 reias por quilômetro rodado. Determine o custo de uma viagem de
, bem como de uma viagem de 12 Km .