Prove por indução que para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar por indução que, para qualquer número natural , a soma é igual a . Isso está relacionado ao conteúdo de prova por indução matemática e séries e somas. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a indução e manipular frações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é prova por indução. É um método que usamos para mostrar que uma afirmação vale para todos os números naturais. Ele tem dois passos principais:
  1. Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para .
  2. Passo indutivo: Assumir que é verdadeira para algum e depois provar que também é verdadeira para .

Passo 3

Base da indução: Vamos verificar se a fórmula funciona para .
Calculando a soma para :
E verificando a fórmula:
Como ambos são iguais ( ), a base da indução está confirmada.

Passo 4

Passo indutivo: Agora, vamos supor que a fórmula vale para , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 5

Precisamos provar que, se a hipótese for verdadeira para , então também é verdadeira para .
Vamos calcular a soma para :
Usando a hipótese de indução:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
Multiplicando por :
Perceba que o numerador é um quadrado perfeito:
Então temos:

Passo 7

A expressão é exatamente o que a fórmula nos diz para :
Então, mostramos que se a fórmula vale para , ela também vale para .

Resposta

Com isso, por indução matemática, provamos que para todo , .

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