Prove por indução que para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar por indução que, para qualquer número natural
, a soma
é igual a
. Isso está relacionado ao conteúdo de prova por indução matemática e séries e somas. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a indução e manipular frações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é prova por indução. É um método que usamos para mostrar que uma afirmação vale para todos os números naturais. Ele tem dois passos principais:
- Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para
. - Passo indutivo: Assumir que é verdadeira para algum
e depois provar que também é verdadeira para .
Passo 3
Base da indução: Vamos verificar se a fórmula funciona para
.
Calculando a soma para
:
E verificando a fórmula:
Como ambos são iguais (
), a base da indução está confirmada.
Passo 4
Passo indutivo: Agora, vamos supor que a fórmula vale para
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 5
Precisamos provar que, se a hipótese for verdadeira para
, então também é verdadeira para
.
Vamos calcular a soma para
:
Usando a hipótese de indução:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão:
Multiplicando
por
:
Perceba que o numerador é um quadrado perfeito:
Então temos:
Passo 7
A expressão
é exatamente o que a fórmula nos diz para
:
Então, mostramos que se a fórmula vale para
, ela também vale para
.
Resposta
Com isso, por indução matemática, provamos que para todo
,
.
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Prove por indução que para cada
.
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