Prove por indução que para cada
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos provar, usando indução matemática, que para todo número inteiro
maior ou igual a 5, a inequação
é verdadeira. Para isso, vamos precisar entender o que é uma prova por indução, além de trabalhar com exponenciais e quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a base da indução, que é verificar se a inequação funciona para
.
Calculando:
Calculando:
Como
, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos supor que a inequação seja verdadeira para algum
. Ou seja, assumimos que:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Ou seja, devemos provar que:
Passo 5
Vamos expandir o lado esquerdo da inequação que queremos provar:
E o lado direito:
A partir da hipótese de indução
, podemos substituir:
Passo 6
Agora, queremos mostrar que:
Para isso, precisamos que:
Vamos verificar se isso é verdadeiro para
:
E, observando que para
,
cresce muito mais devagar que
, a inequação se mantém verdadeira.
Passo 7
Como mostramos que:
sempre que
para
, a prova por indução está completa.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo
, temos que
.