Prove por indução que para cada n ≥ 5, n^2 < 2^n.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos provar, usando indução matemática, que para todo número inteiro maior ou igual a 5, a inequação é verdadeira. Para isso, vamos precisar entender o que é uma prova por indução, além de trabalhar com exponenciais e quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a base da indução, que é verificar se a inequação funciona para .
Calculando:
Como , a base da indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos supor que a inequação seja verdadeira para algum . Ou seja, assumimos que:
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Ou seja, devemos provar que:

Passo 5

Vamos expandir o lado esquerdo da inequação que queremos provar:
E o lado direito:
A partir da hipótese de indução , podemos substituir:

Passo 6

Agora, queremos mostrar que:
Para isso, precisamos que:
Vamos verificar se isso é verdadeiro para :
E, observando que para , cresce muito mais devagar que , a inequação se mantém verdadeira.

Passo 7

Como mostramos que:
sempre que para , a prova por indução está completa.

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo , temos que .

Exercícios relacionados