Uma droga na corrente sanguínea é eliminada lentamente pela ação dos rins. Admita que, partindo de uma quantidade inicial de Q0 miligramas, após t horas, a quantidade da droga no sangue fique reduzida a Q(t) = Q° ⋅ (0,64)t miligramas. Determine o tempo necessário para que a quantidade da droga fique reduzida à metade da quantidade inicial. Utilize log2 ≅ 0,3 e log(0,64) ≅ –0,2.
A. 1 hora e 25 minutos.
B. 1 hora e 5 minutos.
C. 1 hora e 50 minutos.
D. 1 hora e 30 minutos.
E. 1 horas e 45 minutos.

Passo 1

Então, a gente tem um problema sobre como uma droga é eliminada do sangue pelos rins ao longo do tempo. A quantidade inicial da droga é $ Q_0 $ miligramas, e depois de $ t $ horas, a quantidade da droga no sangue é dada por $ Q(t) = Q_0 \cdot (0,64)^t $ miligramas. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para essa quantidade diminuir para metade da quantidade inicial. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa reduzir para metade a quantidade inicial. Se a quantidade inicial é $ Q_0 $, queremos encontrar o tempo $ t $ tal que:
Q0

Passo 3

Agora, vamos substituir $ Q(t) $ pela expressão dada na questão:
Q(t)

Passo 4

Como $ Q_0 $ está presente nos dois lados da equação, podemos dividir ambos os lados por $ Q_0 $ e simplificar:
Q0

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos aplicar o logaritmo dos dois lados. Vamos usar logaritmo na base 10:
log( (0,64)^t ) = log( 12 )

Passo 6

Usando a propriedade dos logaritmos que diz $ \log(a^b) = b \cdot \log(a) $, podemos trazer o expoente $ t $ para frente:
log(a^b) = b cdot log(a)

Passo 7

Agora, vamos isolar $ t $ dividindo os dois lados pela t :
log(0,64)

Passo 8

A gente sabe que $ \log(2) \approx 0,3 $ e $ \log(0,64) \approx -0,2 $. Também, $ \log\left( \frac{1}{2} \right) = -\log(2) \approx -0,3 $. Substituindo esses valores na equação:
log(2) approx 0,3

Resposta

A quantidade da droga fica reduzida à metade após 1 hora e 30 minutos, que corresponde à opção D.

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