Determine o polinômio p(x) do 3° grau que se anula para x=1 e que dividido por x+1 x-2 x+2 apresenta resto igual a 6.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de polinômios aqui. Precisamos encontrar um polinômio $ p(x) $ de 3ª grau que satisfaz duas condições:
- Ele se anula para $ x = 1 $, ou seja, $ p(1) = 0 $.
- Quando dividimos $ p(x) $ por $ (x+1)(x-2)(x+2) $, o resto dessa divisão é igual a 6.
Vamos precisar usar conceitos de polinômios e divisões de polinômios para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de 3º grau geral pode ser escrito como:
onde $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $ são coeficientes que precisamos descobrir.
Passo 3
Sabemos que $ p(x) $ se anula para $ x = 1 $. Isso significa que:
Então, temos a primeira equação:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda condição. Quando dividimos $ p(x) $ por $ (x+1)(x-2)(x+2) $, o resto da divisão é 6. Mas como o divisor é de grau 3 e o polinômio também é de grau 3, o resto deve ser um polinômio de grau menor que 3. Nesse caso, o resto é constante, igual a 6.
Isso significa que:
Onde $ Q(x) $ é o quociente da divisão.
Passo 5
Observando a equação acima, vemos que para qualquer valor de $ x $, a diferença entre $ p(x) $ e 6 é divisível por $ (x+1)(x-2)(x+2) $. Vamos escolher valores de $ x $ que tornam o divisor zero para facilitar os cálculos.
Os valores que zeram o divisor são $ x = -1 $, $ x = 2 $ e $ x = -2 $. Vamos substituir cada um desses valores em $ p(x) $:
Para $ x = -1 $:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -2 $:
Passo 6
Agora, temos um sistema de quatro equações:
- $ a + b + c + d = 0 $
- $ -a + b - c + d = 6 $
- $ 8a + 4b + 2c + d = 6 $
- $ -8a + 4b - 2c + d = 6 $
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $.
Passo 7
Primeiro, vamos simplificar o sistema. Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
$ (-a + b - c + d) - (a + b + c + d) = 6 - 0 $
$ -2a - 2c = 6 $
Dividindo tudo por -2:
$ a + c = -3 $ → Equação 5
$ -2a - 2c = 6 $
Dividindo tudo por -2:
$ a + c = -3 $ → Equação 5
Agora, subtrair a terceira equação da quarta:
$ (-8a + 4b - 2c + d) - (8a + 4b + 2c + d) = 6 - 6 $
$ -16a - 4c = 0 $
Dividindo tudo por -4:
$ 4a + c = 0 $ → Equação 6
$ -16a - 4c = 0 $
Dividindo tudo por -4:
$ 4a + c = 0 $ → Equação 6
Passo 8
Agora temos duas equações com $ a $ e $ c $:
- $ a + c = -3 $
- $ 4a + c = 0 $
Vamos subtrair a equação 5 da equação 6:
$ (4a + c) - (a + c) = 0 - (-3) $
$ 3a = 3 $
Então, $ a = 1 $
$ 3a = 3 $
Então, $ a = 1 $
Substituindo $ a = 1 $ na equação 5:
$ 1 + c = -3 $
Então, $ c = -4 $
$ 1 + c = -3 $
Então, $ c = -4 $
Passo 9
Agora que temos $ a = 1 $ e $ c = -4 $, vamos substituir esses valores nas equações originais para encontrar $ b $ e $ d $.
Usando a primeira equação:
$ 1 + b + (-4) + d = 0 $
$ b + d - 3 = 0 $
Então, $ b + d = 3 $ → Equação 7
$ 1 + b + (-4) + d = 0 $
$ b + d - 3 = 0 $
Então, $ b + d = 3 $ → Equação 7
Usando a terceira equação:
$ 8(1) + 4b + 2(-4) + d = 6 $
$ 8 + 4b - 8 + d = 6 $
$ 4b + d = 6 $ → Equação 8
$ 8(1) + 4b + 2(-4) + d = 6 $
$ 8 + 4b - 8 + d = 6 $
$ 4b + d = 6 $ → Equação 8
Passo 10
Temos agora:
- $ b + d = 3 $
- $ 4b + d = 6 $
Vamos subtrair a equação 7 da equação 8:
$ (4b + d) - (b + d) = 6 - 3 $
$ 3b = 3 $
Então, $ b = 1 $
$ 3b = 3 $
Então, $ b = 1 $
Substituindo $ b = 1 $ na equação 7:
$ 1 + d = 3 $
Então, $ d = 2 $
$ 1 + d = 3 $
Então, $ d = 2 $
Resposta
O polinômio $ p(x) $ de 3º grau que satisfaz as condições dadas é: