Uma certa partícula se desloca sobre o eixo x e em um determinado instante t, com t >= 0, cuja velocidade é v(t) = 2t + 1. Sabe-se também que, no instante t = 0, a posição da partícula é em x = 1. Assinale a alternativa que mostra corretamente a posição x = x(t) da partícula no instante t.
a) x(t) = t² + 2t.
b) x(t) = -t² + t + 2.
c) x(t) = t² + t + 1.
d) x(t) = t³ + 2t - 1.
e) x(t) = 2t + 1.

Passo 1

Então, temos uma partícula que se move no eixo x com uma velocidade que depende do tempo: $ v(t) = 2t + 1 $. Sabemos também que, quando $ t = 0 $, a posição da partícula é $ x = 1 $. O que precisamos descobrir é uma função que nos dê a posição $ x(t) $ da partícula em qualquer instante $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Para encontrar a posição a partir da velocidade, precisamos fazer a operação inversa, que é a integração. Ou seja, vamos integrar a função da velocidade $ v(t) $ para encontrar a função posição $ x(t) $.

Passo 3

Vamos integrar $ v(t) = 2t + 1 $ em relação a $ t $:
v(t) = 2t + 1
t

Passo 4

Integrando cada termo:
integral 2t , dt = 2 cdot t^22 = t^2
integral 1 , dt = t
Então,
x(t) = t^2 + t + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ x(0) = 1 $:
C
Portanto, a função posição fica:
x(0) = 1

Resposta

c) $ x(t) = t² + t + 1 $.

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