Uma certa partícula se desloca sobre o eixo x e em um determinado instante t, com t >= 0, cuja velocidade é v(t) = 2t + 1. Sabe-se também que, no instante t = 0, a posição da partícula é em x = 1. Assinale a alternativa que mostra corretamente a posição x = x(t) da partícula no instante t.
a) x(t) = t² + 2t.
b) x(t) = -t² + t + 2.
c) x(t) = t² + t + 1.
d) x(t) = t³ + 2t - 1.
e) x(t) = 2t + 1.
a) x(t) = t² + 2t.
b) x(t) = -t² + t + 2.
c) x(t) = t² + t + 1.
d) x(t) = t³ + 2t - 1.
e) x(t) = 2t + 1.
Passo 1
Então, temos uma partícula que se move no eixo x com uma velocidade que depende do tempo: $ v(t) = 2t + 1 $. Sabemos também que, quando $ t = 0 $, a posição da partícula é $ x = 1 $. O que precisamos descobrir é uma função que nos dê a posição $ x(t) $ da partícula em qualquer instante $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Para encontrar a posição a partir da velocidade, precisamos fazer a operação inversa, que é a integração. Ou seja, vamos integrar a função da velocidade $ v(t) $ para encontrar a função posição $ x(t) $.
Passo 3
Vamos integrar $ v(t) = 2t + 1 $ em relação a $ t $:
Passo 4
Integrando cada termo:
Então,
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ x(0) = 1 $:
Portanto, a função posição fica:
Resposta
c) $ x(t) = t² + t + 1 $.