Duas amostras aleatórias independentes, de tamanhos 10 e 12, obtidas de duas populações normais, forneceram as seguintes estimativas:
e
e
. Teste, ao nível de significância de
, a hipótese de que
, supondo que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos duas amostras independentes vindas de duas populações normais. As amostras têm tamanhos 10 e 12, com médias
e
, e desvios padrão
e
. A gente quer testar, com um nível de significância de 5%, se as médias das duas populações são iguais, ou seja, se
. Para isso, vamos usar o teste t de Student para duas médias com variâncias iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos formular as hipóteses que vamos testar:
- Hipótese nula (
): (as médias são iguais) - Hipótese alternativa (
): (as médias são diferentes)
Passo 3
Como estamos assumindo que as variâncias das populações são iguais (
), podemos calcular a variância combinada usando a fórmula do erro padrão para duas amostras com variâncias iguais:
Onde:
-
, -
,
Passo 4
Vamos calcular o
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença entre as médias:
Passo 6
Em seguida, calculamos o valor t da estatística de teste:
Passo 7
Vamos determinar os graus de liberdade, que no caso de variâncias iguais são:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para um teste bicaudal com nível de significância de 5% e 20 graus de liberdade. Consultando a tabela t de Student, o valor crítico é aproximadamente
.
Passo 9
Comparamos o valor calculado de t com os valores críticos:
- Se
ou , rejeitamos a hipótese nula. - Caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso,
, que está dentro do intervalo
a
.
Resposta
Como o valor de
calculado (-1.68) está entre -2.086 e 2.086, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que as médias das duas populações são diferentes ao nível de significância de 5%.