Duas amostras aleatórias independentes, de tamanhos 10 e 12, obtidas de duas populações normais, forneceram as seguintes estimativas: barX1=40, barX2=48 e s1=10 e s2=12. Teste, ao nível de significância de 5 %, a hipótese de que mu1=mu2, supondo que sigma1=sigma2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos duas amostras independentes vindas de duas populações normais. As amostras têm tamanhos 10 e 12, com médias barX1=40 e barX2=48, e desvios padrão s1=10 e s2=12. A gente quer testar, com um nível de significância de 5%, se as médias das duas populações são iguais, ou seja, se mu1 = mu2. Para isso, vamos usar o teste t de Student para duas médias com variâncias iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese nula ( H0): mu1 = mu2 (as médias são iguais)
  • Hipótese alternativa ( Ha): mu1 neq mu2 (as médias são diferentes)

Passo 3

Como estamos assumindo que as variâncias das populações são iguais ( sigma1 = sigma2), podemos calcular a variância combinada usando a fórmula do erro padrão para duas amostras com variâncias iguais:
sp = raiz(n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2
Onde:
  • n1 = 10, s1 = 10
  • n2 = 12, s2 = 12

Passo 4

Vamos calcular o sp:
sp = raiz(10 - 1) times 10^2 + (12 - 1) times 12^210 + 12 - 2 = raiz9 times 100 + 11 times 14420 = raiz900 + 158420 = raiz248420 = raiz124.2 approx 11.14

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença entre as médias:
SE = sp times raiz1n1 + 1n2 = 11.14 times raiz110 + 112 = 11.14 times raiz0.1 + 0.0833 = 11.14 times raiz0.1833 approx 11.14 times 0.428 = 4.768

Passo 6

Em seguida, calculamos o valor t da estatística de teste:
t = barX1 - barX2SE = 40 - 484.768 = -84.768 approx -1.68

Passo 7

Vamos determinar os graus de liberdade, que no caso de variâncias iguais são:
df = n1 + n2 - 2 = 10 + 12 - 2 = 20

Passo 8

Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para um teste bicaudal com nível de significância de 5% e 20 graus de liberdade. Consultando a tabela t de Student, o valor crítico é aproximadamente pm 2.086.

Passo 9

Comparamos o valor calculado de t com os valores críticos:
  • Se t < -2.086 ou t > 2.086, rejeitamos a hipótese nula.
  • Caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, t approx -1.68, que está dentro do intervalo -2.086 a 2.086.

Resposta

Como o valor de t calculado (-1.68) está entre -2.086 e 2.086, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que as médias das duas populações são diferentes ao nível de significância de 5%.

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