Quando 12,63 J foram adicionados como calor a 0,2 mol de um certo gás ideal, o volume do gás variou de 50 cm^3 para 100 cm^3, enquanto a pressão permaneceu em 1,0 atm. Determine o calor específico molar a volume constante do gás em questão.

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem um exercício onde adicionaram 12,63 J de calor a 0,2 mol de um gás ideal. Com isso, o volume do gás aumentou de 50 cm³ para 100 cm³, enquanto a pressão ficou constante em 1,0 atm. O que queremos descobrir é o calor específico molar a volume constante desse gás, que é representado por $ C_v $.
Para resolver isso, vamos precisar usar a primeira lei da termodinâmica e a equação dos gases ideais. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a primeira lei da termodinâmica, que basicamente diz que a variação da energia interna ($ \Delta U Deé Q Q W $) pelo sistema. Em fórmula:
W
Aqui, $ Q = 12,63 , J $ e queremos descobrir $ \Delta U $, mas também precisamos calcular $ W $, que é o trabalho feito pelo gás ao expandir.

Passo 3

Para calcular o trabalho $ W $, usamos a fórmula do trabalho em processos isobáricos (com pressão constante):
W
Mas atenção! Precisamos que todas as unidades estejam no Sistema Internacional (SI). Então, vamos converter:
  • Pressão de 1,0 atm para Pascals (1 atm = 101325 Pa):
    W = P De
  • Volume de cm³ para metros cúbicos (1 m³ = 10^6 cm³):
    P = 1,0 , atm times 101325 , Paatm = 101325 , Pa ³³³³³
Agora, calculamos $ W $:
De³

Passo 4

Com o trabalho calculado, podemos agora usar a primeira lei da termodinâmica para encontrar a variação da energia interna:
De
Agora, sabemos que para um gás ideal, a variação da energia interna está relacionada à variação de temperatura ($ \Delta T $) pela fórmula:
De
Onde:
  • $ n = 0,2 , mol $ (número de mols)
  • $ C_v $ é o calor específico molar a volume constante que queremos encontrar
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura

Passo 5

Para encontrar $ \Delta T $, usamos a equação dos gases ideais:
De
Como a pressão $ P $ e o número de mols $ n $ são constantes, podemos relacionar as temperaturas inicial e final:
PV = nRT
Sabemos que $ V_2 = 100 , cm³ $ e $ V_1 = 50 , cm³ $, então:
P
Portanto, a variação de temperatura é:
n
Agora, substituímos isso na equação da energia interna:
V1T1 = V2T2 implies T2T1 = V2V1
Mas precisamos expressar $ T_1 $ em termos de $ V_1 $. Usando novamente a equação dos gases ideais para o estado inicial:
V2 = 100 , cm³
Onde $ R = 8,314 , \frac{J}{mol \cdot K} $. Substituindo os valores:
V1 = 50 , cm³ ³
Agora, voltando à equação da energia interna:
T2T1 = 10050 = 2 implies T2 = 2T1

Resposta

O calor específico molar a volume constante do gás é aproximadamente $ 12,4 , \frac{J}{mol \cdot K} $.

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