Quando
foram adicionados como calor a
de um certo gás ideal, o volume do gás variou de
para
, enquanto a pressão permaneceu em
. Determine o calor específico molar a volume constante do gás em questão.
Passo 1
Então, vamos lá! Você tem um exercício onde adicionaram 12,63 J de calor a 0,2 mol de um gás ideal. Com isso, o volume do gás aumentou de 50 cm³ para 100 cm³, enquanto a pressão ficou constante em 1,0 atm. O que queremos descobrir é o calor específico molar a volume constante desse gás, que é representado por $ C_v $.
Para resolver isso, vamos precisar usar a primeira lei da termodinâmica e a equação dos gases ideais. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora, vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a primeira lei da termodinâmica, que basicamente diz que a variação da energia interna ($ \Delta U
Q
W $) pelo sistema. Em fórmula:
Aqui, $ Q = 12,63 , J $ e queremos descobrir $ \Delta U $, mas também precisamos calcular $ W $, que é o trabalho feito pelo gás ao expandir.
Passo 3
Para calcular o trabalho $ W $, usamos a fórmula do trabalho em processos isobáricos (com pressão constante):
Mas atenção! Precisamos que todas as unidades estejam no Sistema Internacional (SI). Então, vamos converter:
-
Pressão de 1,0 atm para Pascals (1 atm = 101325 Pa):
-
Volume de cm³ para metros cúbicos (1 m³ = 10^6 cm³):
Agora, calculamos $ W $:
Passo 4
Com o trabalho calculado, podemos agora usar a primeira lei da termodinâmica para encontrar a variação da energia interna:
Agora, sabemos que para um gás ideal, a variação da energia interna está relacionada à variação de temperatura ($ \Delta T $) pela fórmula:
Onde:
- $ n = 0,2 , mol $ (número de mols)
- $ C_v $ é o calor específico molar a volume constante que queremos encontrar
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura
Passo 5
Para encontrar $ \Delta T $, usamos a equação dos gases ideais:
Como a pressão $ P $ e o número de mols $ n $ são constantes, podemos relacionar as temperaturas inicial e final:
Sabemos que $ V_2 = 100 , cm³ $ e $ V_1 = 50 , cm³ $, então:
Portanto, a variação de temperatura é:
Agora, substituímos isso na equação da energia interna:
Mas precisamos expressar $ T_1 $ em termos de $ V_1 $. Usando novamente a equação dos gases ideais para o estado inicial:
Onde $ R = 8,314 , \frac{J}{mol \cdot K} $. Substituindo os valores:
Agora, voltando à equação da energia interna:
Resposta
O calor específico molar a volume constante do gás é aproximadamente $ 12,4 , \frac{J}{mol \cdot K} $.