Duas bobinas circulares coaxiais idênticas, de espessura desprezível, com N espiras de raio a em cada bobina, transportam correntes de mesma intensidade i e mesmo sentido, e estão colocadas uma acima da outra, com seus centros C e C^prime separados por uma distância a (figura). Considere o campo B(z) ao longo do eixo, na vizinhança do ponto médio O do segmento C C^prime, tomado como origem. (a) Calcule B(O). (b) Mostre que d B / d z(O)=d^2 B / d z^2(O)=0. Daí resulta que esse dispositivo (bobinas
de Helmholtz) produz um campo muito próximo de um campo uniforme na vizinhança da região central.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas bobinas circulares chamadas de bobinas de Helmholtz. Elas são colocadas uma em cima da outra, têm o mesmo número de espiras , raio , e transportam corrente na mesma direção. A distância entre os centros das bobinas é também . Nosso objetivo é calcular o campo magnético no ponto médio entre elas e mostrar que, perto desse ponto, o campo é quase uniforme. Vamos precisar usar a fórmula do campo magnético no eixo de uma bobina e um pouco de cálculo para as derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo magnético no ponto médio B(z) = mu0 N i a^22(a^2 + z^2)^3/2 . Sabemos que o campo magnético no eixo de uma única bobina no ponto a uma distância do centro é dado por:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo. Como temos duas bobinas, uma a uma distância acima de e outra a abaixo de , a distância total entre elas é .

Passo 3

No ponto B(O) = 2 cdot mu0 N i a^22(a^2 + (a/2)^2)^3/2 , as distâncias das duas bobinas são iguais, B(O) = mu0 N i a^2(a^2 + a^24)^3/2 = mu0 N i a^2(5a^24)^3/2 = mu0 N i a^2(5^3/2 a^38) = 8 mu0 N i5^3/2 a . Então, o campo magnético total será a soma dos campos das duas bobinas:
Simplificando:

Passo 4

Simplificando ainda mais B(O) = 8 mu0 N i5 raiz5 a , então:

Passo 5

Agora, vamos mostrar que as primeiras e segundas derivadas do campo magnético em dBdz = ddz ( mu0 N i a^22(a^2 + z^2)^3/2 ) são zero. Isso significa que o campo muda muito pouco perto de dBdz(O) = 0 , tornando-se quase uniforme.
Primeira derivada:
d^2Bdz^2 = ddz ( dBdz ) = 0 em z = 0
Calculando em (ponto ):
Segunda derivada:

Resposta

Então, o campo magnético no ponto médio B(O) = 8 mu0 N i5 raiz5 a é:
E as derivadas primeira e segunda do campo em são zero, o que faz com que as bobinas de Helmholtz produzam um campo magnético muito próximo de uniforme na região central.

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