Duas bobinas circulares coaxiais idênticas, de espessura desprezível, com
espiras de raio
em cada bobina, transportam correntes de mesma intensidade
e mesmo sentido, e estão colocadas uma acima da outra, com seus centros
e
separados por uma distância
(figura). Considere o campo
ao longo do eixo, na vizinhança do ponto médio O do segmento
, tomado como origem. (a) Calcule
. (b) Mostre que
. Daí resulta que esse dispositivo (bobinas
de Helmholtz) produz um campo muito próximo de um campo uniforme na vizinhança da região central.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas bobinas circulares chamadas de bobinas de Helmholtz. Elas são colocadas uma em cima da outra, têm o mesmo número de espiras
, raio
, e transportam corrente
na mesma direção. A distância entre os centros das bobinas é também
. Nosso objetivo é calcular o campo magnético no ponto médio
entre elas e mostrar que, perto desse ponto, o campo é quase uniforme. Vamos precisar usar a fórmula do campo magnético no eixo de uma bobina e um pouco de cálculo para as derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo magnético no ponto médio
. Sabemos que o campo magnético no eixo de uma única bobina no ponto a uma distância
do centro é dado por:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo. Como temos duas bobinas, uma a uma distância
acima de
e outra a
abaixo de
, a distância total entre elas é
.
Passo 3
No ponto
, as distâncias das duas bobinas são iguais,
. Então, o campo magnético total
será a soma dos campos das duas bobinas:
Simplificando:
Passo 4
Simplificando ainda mais
, então:
Passo 5
Agora, vamos mostrar que as primeiras e segundas derivadas do campo magnético em
são zero. Isso significa que o campo muda muito pouco perto de
, tornando-se quase uniforme.
Primeira derivada:
Calculando em
(ponto
):
Segunda derivada:
Resposta
Então, o campo magnético no ponto médio
é:
E as derivadas primeira e segunda do campo em
são zero, o que faz com que as bobinas de Helmholtz produzam um campo magnético muito próximo de uniforme na região central.