Um vándalo joga uma pedra com velocidade inicial v0, verticalmente para baixo, do telhado de um prédio de altura h. (a) Em quanto tempo a pedra alcança o chão? (b) Qual a velocidade dela no instante do impacto?

Passo 1

Ei! Então, a gente tem um exercício de física aqui. Um vândalo joga uma pedra para baixo com uma certa velocidade inicial de um prédio que tem uma altura . Precisamos descobrir duas coisas: (a) quanto tempo a pedra leva para atingir o chão e (b) qual a velocidade dela quando bate no chão. Vamos usar os conceitos de movimento uniformemente acelerado, considerando a aceleração da gravidade. Para resolver isso, vamos precisar das equações de posição e velocidade no movimento vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no tempo que a pedra leva para alcançar o chão. Sabemos que a pedra parte do repouso relativo ao prédio, mas como ela já tem uma velocidade inicial s = v0 t + 12 g t^2 para baixo, isso facilita. A equação que liga a posição, a velocidade inicial, a aceleração e o tempo é:
Aqui, é a distância percorrida (que é a altura do prédio ), é a aceleração da gravidade (aproximadamente ), e é o tempo que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para resolver o tempo h = v0 t + 12 g t^2 . Substituindo 12 g t^2 + v0 t - h = 0 por :
Isso é uma equação quadrática na forma:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 4

A fórmula de Bhaskara para uma equação do tipo t = -b pm raizb^2 - 4ac2a é:
t = -v0 pm raizv0^2 + 2ghg
Neste caso, , e . Então, substituindo:
Como o tempo não pode ser negativo, ignoramos a solução com o sinal negativo.

Passo 5

Então, o tempo que a pedra leva para atingir o chão é:
t = -v0 + raizv0^2 + 2ghg

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade da pedra no instante do impacto. A equação para a velocidade no movimento uniformemente acelerado é:
v = v0 + g t
Substituindo o tempo que encontramos:
v = v0 + g ( -v0 + raizv0^2 + 2ghg )
Simplificando:
v = v0 - v0 + raizv0^2 + 2gh
v = raizv0^2 + 2gh

Resposta

(a) O tempo para a pedra atingir o chão é .
(b) A velocidade da pedra no instante do impacto é .

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