Duas bobinas idênticas de raio R são perpendiculares a um eixo comum e estão separadas por uma distância R. Uma corrente I flui no mesmo sentido em cada bobina, de tal modo que seus campos coaxiais se somam. Mostre que o campo magnético sobre o eixo a uma distância x do centro de uma bobina é: B=mu0 i R^22[1(x^2+R^2)^32+1(x^2+2 R^2-2 R x)^32]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas bobinas idênticas, cada uma com raio , que estão alinhadas perpendicularmente a um eixo comum e separadas por uma distância igual a . Tem uma corrente passando nas duas bobinas no mesmo sentido, fazendo com que os campos magnéticos delas se somem. Nosso objetivo é mostrar qual é o campo magnético em um ponto no eixo, a uma distância do centro de uma das bobinas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do campo magnético no eixo de uma bobina e somar os campos das duas bobinas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético no eixo de uma única bobina. A fórmula que a gente usa é:
B = mu0 I R^22 (x^2 + R^2)^3/2
Aqui, é a permeabilidade do vácuo, é a corrente, é o raio da bobina, e é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até o centro da bobina.

Passo 3

Agora, temos duas bobinas. A primeira bobina está no centro de referência, e a segunda está a uma distância dela ao longo do eixo. Vamos calcular o campo magnético no ponto a uma distância da primeira bobina devido a cada uma delas.

Passo 4

Para a primeira bobina, que está a uma distância B1 = mu0 I R^22 (x^2 + R^2)^3/2 do ponto considerado, usamos diretamente a fórmula que mencionamos:

Passo 5

Para a segunda bobina, que está a uma distância da primeira, a distância total do ponto até a segunda bobina é ou , dependendo da direção. Como estamos considerando que as correntes são no mesmo sentido e os campos se somam, a distância efetiva para o cálculo do campo será . Então, a distância ao quadrado fica .

Passo 6

Aplicando a fórmula para a segunda bobina, temos:
B2 = mu0 I R^22 (x^2 + 2R^2 - 2Rx)^3/2

Passo 7

Agora, para encontrar o campo magnético total B = B1 + B2 no ponto, a gente soma os campos das duas bobinas:
B = mu0 I R^22 (x^2 + R^2)^3/2 + mu0 I R^22 (x^2 + 2R^2 - 2Rx)^3/2
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

Então, o campo magnético no ponto é dado por:
B = mu0 I R^22 [ 1(x^2 + R^2)^32 + 1(x^2 + 2R^2 - 2Rx)^32 ]

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