Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão (
) é da ordem do comprimento característico do sistema. Em equilíbrio térmico à temperatura T (em Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
Onde
é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
O objetivo desse problema é explorar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente. b) Gases: para quais temperaturas os átomos em um gás ideal em pressão
são quânticos? Dica: use a lei dos gases ideais
para deduzir o espaçamento interatômico. Resposta:
. Evidentemente, para o gás mostrar o comportamento quântico, queremos que
seja o menor possível e
tão grande quanto possível. Faça o cálculo para o hélio a pressão atmosférica. O hidrogênio no espaço sideral (onde o espaço intermolecular é de cerca de 1 cm e a temperatura é de 3 K ) é quântico?
Passo 1
Vamos lá! O que a questão está pedindo é descobrir em quais temperaturas os átomos de um gás ideal sob uma certa pressão começam a se comportar de forma quântica, ou seja, quando a mecânica quântica passa a ser importante. Para isso, vamos usar a lei dos gases ideais e a fórmula do comprimento de onda de de Broglie, que nos ajuda a entender esse comportamento. Precisamos aplicar essas fórmulas para calcular a temperatura crítica onde isso acontece e depois fazer os cálculos específicos para o hélio à pressão atmosférica e verificar se o hidrogênio no espaço sideral é quântico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é o número de partículas, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura.
Essa fórmula relaciona a pressão, volume e temperatura de um gás ideal.
Passo 3
A próxima coisa que precisamos é o comprimento de onda de de Broglie, que nos diz como uma partícula se comporta como uma onda. A fórmula é:
Onde:
-
é o comprimento de onda, -
é a constante de Planck, -
é a massa da partícula, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura.
Queremos que esse comprimento de onda seja comparável ao espaçamento entre as partículas para que os efeitos quânticos sejam relevantes.
Passo 4
Vamos agora relacionar o comprimento de onda com o espaçamento interatômico. Podemos estimar o espaçamento entre as partículas (
) usando a lei dos gases ideais rearranjada:
Assumindo que as partículas estão distribuídas uniformemente, o espaçamento
pode ser aproximado por:
Passo 5
Para que o gás mostre comportamento quântico, o comprimento de onda de de Broglie deve ser do mesmo tamanho ou maior que o espaçamento interatômico:
Substituindo as expressões:
Passo 6
Vamos resolver a desigualdade para encontrar a temperatura crítica
:
Elevando ambos os lados ao cubo para simplificar:
Rearranjando os termos:
Portanto, a temperatura
deve ser menor que:
Passo 7
Agora vamos fazer os cálculos para o hélio à pressão atmosférica. Os valores que vamos usar são:
-
(constante de Planck), -
(constante de Boltzmann), - Massa molar do hélio
, - Pressão atmosférica
.
Substituindo na fórmula:
Passo 8
Vamos calcular passo a passo:
- Calcula
:
- Eleva ao poder
:
- Calcula
:
- Multiplica tudo junto:
Resposta
Para o hélio à pressão atmosférica, a temperatura crítica onde os átomos começam a se comportar quânticamente é aproximadamente 3,35 K. Quanto ao hidrogênio no espaço sideral, considerando que a temperatura é de 3 K e o espaçamento intermolecular é de cerca de 1 cm, ele não se comporta de forma quântica, pois a temperatura está próxima da temperatura crítica calculada para condições diferentes.
Exercícios relacionados
O estado inicial de uma partícula,
em
, é dado por
onde
e
são parametros reais. Encontre b) o valor esperado da posição
Mostre que a soma das funções de onda
é solução da equação de Schroedinger para uma partícula de massa
num potencial constante,
, e obtenha a relação entre
e
.
Para um fio em forma de arco de circunferência de ângulo central
, raio
e centro
, percorrido por uma corrente
mostre que a magnitude do campo produzido no ponto
vale
.
Duas bobinas idênticas de raio
são perpendiculares a um eixo comum e estão separadas por uma distância
. Uma corrente
flui no mesmo sentido em cada bobina, de tal modo que seus campos coaxiais se somam. Mostre que o campo magnético sobre o eixo a uma distância
do centro de uma bobina é: