Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão ( h / p ) é da ordem do comprimento característico do sistema. Em equilíbrio térmico à temperatura T (em Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
p^22 m=32 kB T
Onde kB é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
lambda=hraiz3 m kB T
O objetivo desse problema é explorar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente. b) Gases: para quais temperaturas os átomos em um gás ideal em pressão P são quânticos? Dica: use a lei dos gases ideais (P V=N kB T) para deduzir o espaçamento interatômico. Resposta: T<(1 / kB)(hbar^2 / 3 m)^3 / 5 P^2 / 5. Evidentemente, para o gás mostrar o comportamento quântico, queremos que m seja o menor possível e P tão grande quanto possível. Faça o cálculo para o hélio a pressão atmosférica. O hidrogênio no espaço sideral (onde o espaço intermolecular é de cerca de 1 cm e a temperatura é de 3 K ) é quântico?

Passo 1

Vamos lá! O que a questão está pedindo é descobrir em quais temperaturas os átomos de um gás ideal sob uma certa pressão começam a se comportar de forma quântica, ou seja, quando a mecânica quântica passa a ser importante. Para isso, vamos usar a lei dos gases ideais e a fórmula do comprimento de onda de de Broglie, que nos ajuda a entender esse comportamento. Precisamos aplicar essas fórmulas para calcular a temperatura crítica onde isso acontece e depois fazer os cálculos específicos para o hélio à pressão atmosférica e verificar se o hidrogênio no espaço sideral é quântico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
P V = N kB T
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é o número de partículas,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura.
Essa fórmula relaciona a pressão, volume e temperatura de um gás ideal.

Passo 3

A próxima coisa que precisamos é o comprimento de onda de de Broglie, que nos diz como uma partícula se comporta como uma onda. A fórmula é:
lambda = hraiz3 m kB T
Onde:
  • é o comprimento de onda,
  • é a constante de Planck,
  • é a massa da partícula,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura.
Queremos que esse comprimento de onda seja comparável ao espaçamento entre as partículas para que os efeitos quânticos sejam relevantes.

Passo 4

Vamos agora relacionar o comprimento de onda com o espaçamento interatômico. Podemos estimar o espaçamento entre as partículas ( V = N kB TP ) usando a lei dos gases ideais rearranjada:
d sim (VN)^1/3 = (kB TP)^1/3
Assumindo que as partículas estão distribuídas uniformemente, o espaçamento pode ser aproximado por:

Passo 5

Para que o gás mostre comportamento quântico, o comprimento de onda de de Broglie deve ser do mesmo tamanho ou maior que o espaçamento interatômico:
lambda >= d
Substituindo as expressões:
hraiz3 m kB T >= (kB TP)^1/3

Passo 6

Vamos resolver a desigualdade para encontrar a temperatura crítica hraiz3 m kB T >= (kB TP)^1/3 :
h^3(3 m kB T)^3/2 >= kB TP
Elevando ambos os lados ao cubo para simplificar:
T^5/2 <= h^3 P3^3/2 m^3/2 kB^5/2
Rearranjando os termos:
T < (1kB) (h^23 m)^3/5 P^2/5
Portanto, a temperatura deve ser menor que:

Passo 7

Agora vamos fazer os cálculos para o hélio à pressão atmosférica. Os valores que vamos usar são:
  • T < (11,381 times 10^-23) ((6,626 times 10^-34)^23 times 6,646 times 10^-27)^3/5 times (1,013 times 10^5)^2/5 (constante de Planck),
  • (constante de Boltzmann),
  • Massa molar do hélio ,
  • Pressão atmosférica .
Substituindo na fórmula:

Passo 8

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcula (6,626 times 10^-34)^23 times 6,646 times 10^-27 approx 4,39 times 10^-671,9938 times 10^-26 approx 2,20 times 10^-41 , J^2s^2/kg :
(2,20 times 10^-41)^3/5 approx 1,16 times 10^-25 , J^6/5s^6/5/kg^3/5
  1. Eleva ao poder (1,013 times 10^5)^2/5 approx 398,1 , Pa^2/5 :
11,381 times 10^-23 times 1,16 times 10^-25 times 398,1 approx 1,16 times 10^-25 times 398,11,381 times 10^-23 approx 4,63 times 10^-231,381 times 10^-23 approx 3,35 , K
  1. Calcula :
  1. Multiplica tudo junto:

Resposta

Para o hélio à pressão atmosférica, a temperatura crítica onde os átomos começam a se comportar quânticamente é aproximadamente 3,35 K. Quanto ao hidrogênio no espaço sideral, considerando que a temperatura é de 3 K e o espaçamento intermolecular é de cerca de 1 cm, ele não se comporta de forma quântica, pois a temperatura está próxima da temperatura crítica calculada para condições diferentes.

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