Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão ( ) é da ordem do comprimento característico do sistema. Em equilíbrio térmico à temperatura T (em Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
Onde é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
O objetivo desse problema é explorar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente. b) Gases: para quais temperaturas os átomos em um gás ideal em pressão são quânticos? Dica: use a lei dos gases ideais para deduzir o espaçamento interatômico. Resposta: . Evidentemente, para o gás mostrar o comportamento quântico, queremos que seja o menor possível e tão grande quanto possível. Faça o cálculo para o hélio a pressão atmosférica. O hidrogênio no espaço sideral (onde o espaço intermolecular é de cerca de 1 cm e a temperatura é de 3 K ) é quântico?

Passo 1

Vamos lá! O que a questão está pedindo é descobrir em quais temperaturas os átomos de um gás ideal sob uma certa pressão começam a se comportar de forma quântica, ou seja, quando a mecânica quântica passa a ser importante. Para isso, vamos usar a lei dos gases ideais e a fórmula do comprimento de onda de de Broglie, que nos ajuda a entender esse comportamento. Precisamos aplicar essas fórmulas para calcular a temperatura crítica onde isso acontece e depois fazer os cálculos específicos para o hélio à pressão atmosférica e verificar se o hidrogênio no espaço sideral é quântico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é o número de partículas,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura.
Essa fórmula relaciona a pressão, volume e temperatura de um gás ideal.

Passo 3

A próxima coisa que precisamos é o comprimento de onda de de Broglie, que nos diz como uma partícula se comporta como uma onda. A fórmula é:
Onde:
  • é o comprimento de onda,
  • é a constante de Planck,
  • é a massa da partícula,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura.
Queremos que esse comprimento de onda seja comparável ao espaçamento entre as partículas para que os efeitos quânticos sejam relevantes.

Passo 4

Vamos agora relacionar o comprimento de onda com o espaçamento interatômico. Podemos estimar o espaçamento entre as partículas ( ) usando a lei dos gases ideais rearranjada:
Assumindo que as partículas estão distribuídas uniformemente, o espaçamento pode ser aproximado por:

Passo 5

Para que o gás mostre comportamento quântico, o comprimento de onda de de Broglie deve ser do mesmo tamanho ou maior que o espaçamento interatômico:
Substituindo as expressões:

Passo 6

Vamos resolver a desigualdade para encontrar a temperatura crítica :
Elevando ambos os lados ao cubo para simplificar:
Rearranjando os termos:
Portanto, a temperatura deve ser menor que:

Passo 7

Agora vamos fazer os cálculos para o hélio à pressão atmosférica. Os valores que vamos usar são:
  • (constante de Planck),
  • (constante de Boltzmann),
  • Massa molar do hélio ,
  • Pressão atmosférica .
Substituindo na fórmula:

Passo 8

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcula :
  1. Eleva ao poder :
  1. Calcula :
  1. Multiplica tudo junto:

Resposta

Para o hélio à pressão atmosférica, a temperatura crítica onde os átomos começam a se comportar quânticamente é aproximadamente 3,35 K. Quanto ao hidrogênio no espaço sideral, considerando que a temperatura é de 3 K e o espaçamento intermolecular é de cerca de 1 cm, ele não se comporta de forma quântica, pois a temperatura está próxima da temperatura crítica calculada para condições diferentes.

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