Para um fio em forma de arco de circunferência de ângulo central emptyset, raio R e centro C, percorrido por uma corrente i mostre que a magnitude do campo produzido no ponto C vale B=mu0 i4 pi R emptyset.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio com a forma de um arco de circunferência, com um ângulo central theta, raio R e centro C. Esse fio está carregando uma corrente elétrica i. Nosso objetivo é descobrir qual é a magnitude do campo magnético B que esse fio gera no ponto C.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica em um ponto específico no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Biot-Savart. Ela diz que o campo magnético B gerado por um elemento de corrente dl é dado por:
dB = mu04pi i, dl times rr^3
Aqui:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo.
  • i é a corrente.
  • dl é um pequeno elemento do fio onde a corrente passa.
  • r é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo.
  • r é a magnitude desse vetor r.
No nosso caso, o ponto onde queremos calcular o campo magnético é o centro C da circunferência.

Passo 3

Como o fio está em forma de arco de circunferência de raio R e o ponto C está exatamente no centro, podemos simplificar as coisas. Para cada elemento dl do fio, o vetor r tem magnitude igual a R e aponta do elemento até o centro.
Além disso, o ângulo entre dl e r é de 90^circ, porque dl é tangente à circunferência e r é radial. Então, o produto vetorial dl times r tem magnitude dl cdot R e a direção perpendicular ao plano do arco.

Passo 4

Agora, vamos integrar a expressão da Lei de Biot-Savart sobre todo o arco do fio. Como todos os elementos contribuem na mesma direção perpendicular ao plano, podemos somar as magnitudes:
B = integral mu04pi i, dl cdot RR^3
Simplificando:
B = mu0 i4pi R^2 integral dl

Passo 5

A integral integral dl representa o comprimento total do arco. Sabemos que para um ângulo central theta, o comprimento do arco é:
l = R theta
Portanto:
B = mu0 i4pi R^2 cdot R theta
Simplificando mais:
B = mu0 i theta4pi R

Resposta

A magnitude do campo magnético no ponto C é:
B = mu0 i4 pi R theta

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