Para um fio em forma de arco de circunferência de ângulo central
, raio
e centro
, percorrido por uma corrente
mostre que a magnitude do campo produzido no ponto
vale
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio com a forma de um arco de circunferência, com um ângulo central
, raio
e centro
. Esse fio está carregando uma corrente elétrica
. Nosso objetivo é descobrir qual é a magnitude do campo magnético
que esse fio gera no ponto
.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica em um ponto específico no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Biot-Savart. Ela diz que o campo magnético
gerado por um elemento de corrente
é dado por:
Aqui:
-
é a permeabilidade do vácuo. -
é a corrente. -
é um pequeno elemento do fio onde a corrente passa. -
é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo. -
é a magnitude desse vetor .
No nosso caso, o ponto onde queremos calcular o campo magnético é o centro
da circunferência.
Passo 3
Como o fio está em forma de arco de circunferência de raio
e o ponto
está exatamente no centro, podemos simplificar as coisas. Para cada elemento
do fio, o vetor
tem magnitude igual a
e aponta do elemento até o centro.
Além disso, o ângulo entre
e
é de
, porque
é tangente à circunferência e
é radial. Então, o produto vetorial
tem magnitude
e a direção perpendicular ao plano do arco.
Passo 4
Agora, vamos integrar a expressão da Lei de Biot-Savart sobre todo o arco do fio. Como todos os elementos contribuem na mesma direção perpendicular ao plano, podemos somar as magnitudes:
Simplificando:
Passo 5
A integral
representa o comprimento total do arco. Sabemos que para um ângulo central
, o comprimento do arco é:
Portanto:
Simplificando mais:
Resposta
A magnitude do campo magnético no ponto
é:
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