Para um fio em forma de arco de circunferência de ângulo central , raio e centro , percorrido por uma corrente mostre que a magnitude do campo produzido no ponto vale .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio com a forma de um arco de circunferência, com um ângulo central , raio e centro . Esse fio está carregando uma corrente elétrica . Nosso objetivo é descobrir qual é a magnitude do campo magnético que esse fio gera no ponto .
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica em um ponto específico no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Biot-Savart. Ela diz que o campo magnético gerado por um elemento de corrente é dado por:
Aqui:
  • é a permeabilidade do vácuo.
  • é a corrente.
  • é um pequeno elemento do fio onde a corrente passa.
  • é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo.
  • é a magnitude desse vetor .
No nosso caso, o ponto onde queremos calcular o campo magnético é o centro da circunferência.

Passo 3

Como o fio está em forma de arco de circunferência de raio e o ponto está exatamente no centro, podemos simplificar as coisas. Para cada elemento do fio, o vetor tem magnitude igual a e aponta do elemento até o centro.
Além disso, o ângulo entre e é de , porque é tangente à circunferência e é radial. Então, o produto vetorial tem magnitude e a direção perpendicular ao plano do arco.

Passo 4

Agora, vamos integrar a expressão da Lei de Biot-Savart sobre todo o arco do fio. Como todos os elementos contribuem na mesma direção perpendicular ao plano, podemos somar as magnitudes:
Simplificando:

Passo 5

A integral representa o comprimento total do arco. Sabemos que para um ângulo central , o comprimento do arco é:
Portanto:
Simplificando mais:

Resposta

A magnitude do campo magnético no ponto é:

Exercícios relacionados

Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão ( ) é da ordem do comprimento característico do sistema. Em equilíbrio térmico à temperatura T (em Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
Onde é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
O objetivo desse problema é explorar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente. b) Gases: para quais temperaturas os átomos em um gás ideal em pressão são quânticos? Dica: use a lei dos gases ideais para deduzir o espaçamento interatômico. Resposta: . Evidentemente, para o gás mostrar o comportamento quântico, queremos que seja o menor possível e tão grande quanto possível. Faça o cálculo para o hélio a pressão atmosférica. O hidrogênio no espaço sideral (onde o espaço intermolecular é de cerca de 1 cm e a temperatura é de 3 K ) é quântico?
O estado inicial de uma partícula, em , é dado por
onde e são parametros reais. Encontre b) o valor esperado da posição
Duas bobinas idênticas de raio são perpendiculares a um eixo comum e estão separadas por uma distância . Uma corrente flui no mesmo sentido em cada bobina, de tal modo que seus campos coaxiais se somam. Mostre que o campo magnético sobre o eixo a uma distância do centro de uma bobina é:
b) Explique porque este experimento simples poderia ser utilizado para comprovar a Segunda Lei da Termodinâmica. Suponha que no caso mostrado no painel da direita, soprasse um vento no sentido contrário ao giro do ventilador, fazendo o sistema funcionar